《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

4. (2025·四川泸州)如图,$AB,CD$是$\odot O$的直径,过点$C$的直线与过点$B$的切线交于点$E$,与$BA$的延长线交于点$F$,且$EB = EC$,连接$DE$交$AB$于点$G$.
(1)求证:$EF$是$\odot O$的切线.
(2)若$AF = 10$,$\sin F=\frac{1}{3}$,求$EG$的长.

答案：
解:
(1)证明:如图1所示，连接OE(巧作辅助线:由EC = EB联想到全等三角形，连接OE，为后续证明三角形全等创造条件).
　　　　　　　　
∵BE是⊙O的切线，
∴OB⊥BE,即∠OBE = 90°(依据:圆的切线垂直于经过切点的半径).
在△OEC和△OEB中，$\begin{cases}OC = OB,\\OE = OE,\\CE = BE,\end{cases}$
∴△OEC≌△OEB(SSS).
∴∠OCE = ∠OBE = 90°.
∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
(2)[第1步，作CH⊥BF，DM⊥BF，根据$\sin F$求出⊙O的半径]
如图2所示，过点C作CH⊥BF于点H(巧作辅助线:为求DM创造条件)，过点D作DM⊥BF于点M(巧作辅助线:构造直角三角形，为证明△DMG∽△EBG创造条件).
　　　　　　　　
设OA = OC = r，则OF = OA + AF = r + 10.
由
(1)可得∠OCF = 90°，
在Rt△OCF中，$\sin F=\frac{OC}{OF}=\frac{1}{3}$，
∴3OC = OF.
∴3r = r + 10.
∴r = 5.
∴OA = OC = 5.
[第2步，根据勾股定理求出CF的长，得出$\cos F$的值，再根据锐角三角函数的定义求出EF，BE，由等面积法求出CH的长]
∴AB = CD = 2OA = 10，OF = 15.
∴BF = OF + OB = 20.
在Rt△OCF中，由勾股定理得$CF = \sqrt{OF^{2}-OC^{2}}=\sqrt{15^{2}-5^{2}} = 10\sqrt{2}$，
∴$\cos F=\frac{CF}{OF}=\frac{10\sqrt{2}}{15}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
在Rt△BEF中，$EF=\frac{BF}{\cos F}=\frac{20}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=15\sqrt{2}$，
∴CE = BE = EF·$\sin F = 5\sqrt{2}$.
在Rt△CDE中，由勾股定理得$DE = \sqrt{CE^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}+10^{2}} = 5\sqrt{6}$.
∵$S_{△OCF}=\frac{1}{2}CH·OF=\frac{1}{2}OC·CF$，
∴$CH=\frac{OC·CF}{OF}=\frac{5×10\sqrt{2}}{15}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$.
[第3步，证明△COH≌△DOM得出DM的长]
∵∠CHO = ∠DMO = 90°，∠COH = ∠DOM，OC = OD，
∴△COH≌△DOM(AAS).
∴DM = CH = $\frac{10\sqrt{2}}{3}$.
[第4步，证明△DGM∽△EGB求出EG的长]
∵∠DMG = ∠EBG = 90°，∠DGM = ∠EGB，
∴△DGM∽△EGB.
∴$\frac{EG}{DG}=\frac{BE}{DM}$，即$\frac{EG}{DG}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{10\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{2}$.
∴$EG=\frac{3}{2 + 3}DE = 3\sqrt{6}$.