《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1.(2025·湖北宜昌西陵测评)如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+1$的顶点在直线$y = kx + 1$上,对称轴为直线$x = 1$,有以下四个结论:①$ab＜0$,
②$b＜ \frac{1}{3}$,③$a = -k$,④当$0 ＜ x ＜ 1$时,$ax + b＞k$.其中正确的结论是 (B)

A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④

答案： 1.B [解析]一次函数与二次函数的图象与性质+函数与不等式的关系　对于结论①，由题中图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，$\therefore a＜0$，$-\frac{b}{2a}=1$，$\therefore b=-2a＞0$，$\therefore ab＜0$，结论①正确。对于结论②，由题中图象可知，当$x=-1$时，$y=a-b+1＜0$，$\because b=-2a$，$\therefore a=-\frac{1}{2}b$，$\therefore -\frac{1}{2}b-b+1＜0$，解得$b＞\frac{2}{3}$，结论②错误。对于结论③，当$x=1$时，$a+b+1=k+1$，即$a-2a=k$，整理得$a=-k$，结论③正确。对于结论④，由题中图象可以看出，当$0＜x＜1$时，抛物线在直线上方，$\therefore ax^{2}+bx+1＞kx+1$，即$ax^{2}+bx＞kx$，$\because x＞0$，$\therefore ax+b＞k$，结论④正确。综上所述，正确的结论是①③④，故选B。

2.(2025·四川南充)已知某函数图象关于$y$ 轴对称,当$0\leq x\leq2$时,$y = x^{2}-2x$;当$x ＞ 2$时,$y = 2x - 4$.若直线$y = x + b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点,则实数$b$的范围是 (A)

A.$- \frac{1}{4} ＜ b ＜ 0$
B.$- \frac{9}{4} ＜ b ＜ - \frac{1}{4}$
C.$- \frac{1}{4} \leq b \leq 0$
D.$b \leq - \frac{1}{4}$或$b ＞ 0$

答案：
2.A [解析]二次函数的图象与性质+一次函数的图象与性质
[第1步，根据对称性画出函数的图象]
当$0\leq x\leq2$时，$y=x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1$，此部分图象是一个开口向上，顶点为$(1,-1)$，与$x$轴交点为$(0,0)$，$(2,0)$的抛物线的一部分。当$x＞2$时，$y=2x - 4$，是一条$k$为2，过$(2,0)$的射线。$\because$函数图象关于$y$轴对称，$\therefore$当$-2\leq x＜0$时，$y=(x + 1)^{2}-1=x^{2}+2x$。根据对称性画出函数图象如图。

[第2步，联立$y=x+b$与$y=x^{2}+2x$，求出$b$的值，结合函数图象确定$b$的范围]
联立$\begin{cases}y=x^{2}+2x,\\y=x+b\end{cases}(-2＜x＜0)$，得$x^{2}+x - b=0$，当$\Delta = 1 + 4b = 0$，即$b=-\frac{1}{4}$时，直线与$y=x^{2}+2x(-2\leq x＜0)$图象相切。当直线过$(0,0)$时，$b = 0$。结合图象可知，当$-\frac{1}{4}＜b＜0$时，直线$y=x+b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点，故选A。

3.(2025·广州海珠综练)直线$y_1 = 2x + 7$交$y$轴于点$A$,抛物线$y_2 = ax^{2} + bx + c$交$x$轴于点$B(x_1,0)$和点$C(x_2,0),x_1 ＜ x_2$.
(1)求点$A$的坐标.
(2)如果$b = 3,c = 6$,且抛物线$y_2$始终在直线$y_1$下方,求$a$的取值范围.
(3)过点$B$作$y_1$的平行线,在第一象限内交抛物线$y_2$于另外一点$D$,如果点$D$的横坐标是$x_1 + 4$,且$\triangle BCD$的面积是$32$,$A$,$B$,$C$,$D$四点共圆.当$-1\leq x ＜ 4$时,探究$y_2$有没有最值(最大值或最小值).如果有,请求出最值;如果没有,请说明理由.

答案：
3.二次函数的图象与性质+一元二次方程根的判别式+等腰三角形的性质+勾股定理
解：
(1)$\because$当$x=0$时，$y_{1}=2×0 + 7 = 7$，$\therefore A(0,7)$。
(2)由题知抛物线$y_{2}$始终在直线$y_{1}$下方，当$a＞0$时，抛物线开口向上，抛物线与直线必有交点，故不成立。当$a＜0$时，抛物线开口向下，令$2x + 7 = ax^{2}+3x + 6$，则$ax^{2}+x - 1 = 0$，$\therefore\Delta = 1 + 4a＜0$(提示：$\because$直线与抛物线没有交点，$\therefore\Delta＜0$)，$\therefore a＜-\frac{1}{4}$。
(3)[第1步，求$BC$的长]
$\because$直线$BD// y_{1}$且过点$B(x_{1},0)$，$\therefore$直线$BD$的解析式为$y=2(x - x_{1})$。$\because x_{D}=x_{1}+4$，$\therefore y_{D}=8$。$\because S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}· BC· y_{D}=32$，$\therefore BC = 8$。
[第2步，确定$\triangle BCD$的外心]
$\because$当$a＞0$时，$BC＜x_{D}-x_{B}=4$，不成立，$\therefore a＜0$。如图，

易知$\triangle BCD$为等腰三角形(提示：$BC = 8$，$x_{D}=x_{1}+4$，故$\triangle BCD$是等腰三角形)，$\therefore BD = CD$。根据抛物线的对称性，得点$D$为抛物线顶点。由$A$，$B$，$C$，$D$四点共圆，设点$M$为$\triangle BCD$外接圆圆心，过$D$作$DE\perp BC$于$E$，易知点$M$在$DE$上。
[第3步，连接$BM$，求点$B$，$C$，$D$的坐标]
连接$BM$，在$Rt\triangle BME$中，$BM^{2}=ME^{2}+BE^{2}$，即$BM^{2}=(8 - BM)^{2}+16$，解得$DM = BM = 5$，$\therefore ME = 3$。$\because$点$A(0,7)$，点$D$在第一象限内，$\therefore M(3,3)$，$\therefore B(-1,0)$，$C(7,0)$，$D(3,8)$。
[第4步，求函数解析式，确定$y_{2}$的取值范围]
$\therefore y_{2}=-\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+8$(方法：根据三点坐标列方程组求解)。$\because -1＜x＜4$，$\therefore 0＜y_{2}＜8$，$\therefore y_{2}$的最大值为8，最小值为0。