《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

4. (2025·浙江)【问题背景】
如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板$ABCD$上剪下机翼状纸板(阴影部分),点$E$在对角线$BD$上.

【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成,请写出$\triangle ABE\cong\triangle CBE$的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足$DE=DA$,求“机翼角”$\angle BAE$的度数.

答案：
4.正方形的性质+全等三角形的判定
解:
(1)证明:如图，在正方形ABCD中，BA = BC，∠ABD = ∠CBD = 45°，
在△ABE和△CBE中，因为$\begin{cases} BA = BC, \\ \angle ABE = \angle CBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
所以△ABE≌△CBE(SAS)。
(2)在正方形ABCD中，∠BAD = 90°，∠ADB = 45°。
因为DE = DA，
所以∠DAE = ∠DEA = 67.5°。
所以∠BAE = 90° - 67.5° = 22.5°。

5. (2025·四川广安)如图,$E$,$F$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上的两点,$BD=10$,$DE=BF$,连接$AE$,$AF$,$CE$,$CF$.
(1)求证:$\triangle ADE\cong\triangle CBF$.
(2)若四边形$AECF$的周长为$4\sqrt{34}$,求$EF$的长.

答案：
5.正方形的性质+全等三角形的判定与性质+勾股定理
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD = BC，∠ADE = ∠CBF = 45°。
在△ADE和△CBF中，$\begin{cases} AD = BC, \\ \angle ADE = \angle CBF, \\ DE = BF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS)。
(2)如图，连接AC交BD于点O(巧作辅助线:构造直角三角形)，
∵四边形ABCD为正方形，BD = 10，
∴BD垂直平分AC，OA = OC = OB = $\frac{1}{2}$BD = 5。
∴AF = CF，AE = CE。
由
(1)知△ADE≌△CBF，
∴AE = CF。
∴AF = CF = AE = CE。
∵四边形AECF的周长为4$\sqrt{34}$，
∴AF = $\frac{1}{4}$×4$\sqrt{34}$ = $\sqrt{34}$。
在Rt△AOF中，OF = $\sqrt{AF^{2}-OA^{2}}$ = 3，
∴BF = DE = OB - OF = 5 - 3 = 2。
∴EF = BD - BF - DE = 6。
答:EF的长为6。