《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

(2024·江苏苏州)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(-2,0)，C(6,0)，反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k\neq0 $，$ x＞0 $）的图象与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E。
(1)求m，k的值。
(2)点P为反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k\neq0 $，$ x＞0 $）图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合）。过点P作PM//AB，交y轴于点M，过点P作PN//x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标。

答案：
一次函数与反比例的综合+用待定系数法求函数解析式+平行线的性质+三角形的面积公式+二次函数的性质
解:
(1)
∵A(−2,0),C(6,0),
∴AC=8.
又AC=BC,
∴BC=8.
∵∠ACB=90°,
∴点B(6,8).
设直线AB的函数表达式为y=ax+b,
将A(−2,0),B(6,8)的坐标代入y=ax+b,得\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}
∴直线AB的函数表达式为y=x+2.
将点D(m,4)的坐标代入y=x+2,得m=2.
∴D(2,4).
将D(2,4)的坐标代入y=$\frac{k}{x}$,得k=8.

(2)延长NP交y轴于点Q,交AB于点L.
∵AC=BC,∠BCA=90°,
∴∠BAC=45°.
∵PN//x轴，
∴∠BLN=∠BAC=45°,∠NQM=90°.
∵AB//MP,
∴∠MPL=∠BLP=45°.
∴∠QMP=∠QPM=45°.
∴QM=QP.
设点P的坐标为(t,$\frac{8}{t}$),2＜t＜6,
则PQ=t,PN=6−t.
∴MQ=PQ=t.
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$·PN·MQ=$\frac{1}{2}$·(6−t)·t
=−$\frac{1}{2}$(t−3)²+$\frac{9}{2}$(方法:利用三角形的面积公式建立二次函数，由二次函数的性质求解).
∴当t = 3时，S△PMN有最大值$\frac{9}{2}$，此时P(3,$\frac{8}{3}$).