《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1.(2025·四川南充)抛物线$ y = ax^2 + 2ax - \frac{15}{4} (a \neq 0) $与$ x $轴交于$ A(3,0) $,$ B $两点,$ N $是抛物线顶点.
(1)求抛物线的解析式及点$ B $的坐标.
(2)如图1,抛物线上两点$ P(m,y_1) $,$ Q(m + 2,y_2) $,若$ PQ // BN $,求$ m $的值.
(3)如图2,点$ M(-1,-5) $,如果不垂直于$ y $轴的直线$ l $与抛物线交于点$ G $,$ H $,满足$ \angle GMN = \angle HMN $.探究直线$ l $是否过定点? 若直线$ l $过定点,求定点坐标;若不过定点,请说明理由.

答案：
1.二次函数的图象与性质+一次函数与二次函数图象的交点问题
解:
(1)把$A(3,0)$的坐标代入$y=ax^{2}+2ax-\frac{15}{4}$，
$\therefore a=\frac{1}{4}$
$\therefore y=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{15}{4}$
令$y=0$，$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{15}{4}=0$，得$x_{1}=-5$，$x_{2}=3$.
$\therefore B(-5,0)$.
(2)如图1，$\because B(-5,0)$，$N(-1,-4)$，

$\therefore$直线$BN$为$y=-x-5$.
$\because PQ// BN$，设直线$PQ$为$y=-x+n$（提示：如果两条直线平行，那么这两条直线对应的解析式$k$值相等），
点$P(m,\frac{1}{4}m^{2}+\frac{1}{2}m-\frac{15}{4})$，$Q(m+2,\frac{1}{4}(m+2)^{2}+\frac{1}{2}(m+2)-\frac{15}{4})$，
$\therefore\frac{1}{4}m^{2}+\frac{1}{2}m-\frac{15}{4}=-m+n$，$\frac{1}{4}(m+2)^{2}+\frac{1}{2}(m+2)-\frac{15}{4}=-(m+2)+n$.
解得$m=-4$.
(3)存在定点$T$满足条件.
[第1步，设直线$l:y=kx+b$，$G(x_{3},y_{3})$，$H(x_{4},y_{4})$，与抛物线的解析式联立表示$x_{3}+x_{4}$，$x_{3}x_{4}$]
设直线$l$解析式$y=kx+b$，直线$l$与抛物线相交于点$G(x_{3},y_{3})$，$H(x_{4},y_{4})$，
$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{15}{4}\\y=kx+b\end{cases}$
$\therefore x^{2}+(2-4k)x-15-4b=0$.
$\therefore\Delta＞0$，$x_{3}+x_{4}=4k-2$，$x_{3}x_{4}=-15-4b$.
[第2步，作$GC\perp MN$，$HD\perp MN$，表示出$GC$，$MC$，$HD$，$MD$，由锐角三角函数的定义建立方程求出$k$，$b$的关系]
如图2，作$GC\perp MN$，$HD\perp MN$，$GC=-1-x_{3}$，$MC=y_{3}+5$，$HD=x_{4}+1$，$MD=y_{4}+5$，

$\because\angle GMN=\angle HMN$，
$\therefore\tan\angle GMN=\tan\angle HMN$，
即$\frac{GC}{MC}=\frac{HD}{MD}$
$\therefore\frac{-1-x_{3}}{y_{3}+5}=\frac{x_{4}+1}{y_{4}+5}$
$\therefore(x_{3}+1)(y_{4}+5)+(x_{4}+1)(y_{3}+5)=0$.
$\therefore(x_{3}+1)(kx_{4}+b+5)+(x_{4}+1)(kx_{3}+b+5)=0$.
$\therefore2kx_{3}x_{4}+(k+b+5)(x_{3}+x_{4})+2b+10=0$.
$\therefore2k(-15-4b)+(k+b+5)(4k-2)+2b+10=0$.
$\therefore-4k(b-k+3)=0$.
$\because$直线$l$不垂直于$y$轴，
$\therefore k\neq0$.
$\therefore b-k+3=0$.
[第3步，求得定点坐标]
$\therefore$直线$l$解析式$y=k(x+1)-3$.
$\because$无论$k$为何值，$x=-1$，$y=-3$，
$\therefore l$过定点$T(-1,-3)$，故存在定点$T(-1,-3)$.
难点突破
含参直线过定点的求解步骤
(1)将函数解析式整理为“$y=$参数$×$(含$x$的式子)$+$不含参数的项”的形式[例如：函数$y=m(x-2)+3$，参数为$m$，含$x$的式子为$x-2$，不含参数的项为$3$].
(2)令含$x$的式子等于$0$，解出$x$的值(令$x-2=0$，得$x=2$).
(3)代入求定点纵坐标(将$x=2$代入函数解析式，求出$y$，即可得定点坐标，当$x=2$时，$y=0+3=3$，定点坐标为$(2,3)$).