《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1. (2024·山东泰安)如图,抛物线$ C_1:y = ax^2 + \frac{4}{3}x - 4 $经过点$ D(1, -1) $,与$ x $轴交于点$ A $、点$ B $.
(1)求抛物线$ C_1 $的表达式.
(2)将抛物线$ C_1 $向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到抛物线$ C_2 $,求抛物线$ C_2 $的表达式,并判断点$ D $是否在抛物线$ C_2 $上.
(3)在$ x $轴上方的抛物线$ C_2 $上,是否存在点$ P $,使$ \triangle PBD $是等腰直角三角形? 若存在,请求出点$ P $的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
1.二次函数的图象和性质+函数图象的平移变换+等腰直角三角形的性质+全等三角形的判定与性质
【思维导图】
(3)在抛物线C1中→点A($\frac{6}{5}$,0),B(−2,0)→三种情况讨论:
当点D为直角顶点时，$\begin{cases} \triangle BDP_1是等腰直角三角形\\BD=DP_1\end{cases}$→过点D作直线l//x轴，过点B作BM⊥l于点M，过点P1作P1N⊥l于点N，$\begin{cases}同角的余角相等\to\angle MBD=\angle NDP_1\\\triangle BDM\cong\triangle DP_1N(AAS)\end{cases}$→DN=BM=1，P1N=DM=3→点P1(2,2)→符合题意;
②当点B为直角顶点时，$\begin{cases}\triangle BDP_2是等腰直角三角形\\BD=BP_2\end{cases}$→过点B作直线m//y轴，过点P2作P2Q⊥m于点Q，$\begin{cases}同理可求\end{cases}$→△BP2Q≌△DBM→点P2(−1,3)→符合题意;
③当点P为直角顶点时，$\begin{cases}\triangle BDP_3是等腰直角三角形\\BP_3=DP_3\end{cases}$→过点P3作直线l//x轴，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，△BP3M≌△P3DN(AAS)→点P3(0,1)→点P3不在抛物线C2上，不符合题意→得解。
解:
(1)将点D(1，−1)的坐标代入抛物线C1的表达式，得a+$\frac{4}{3}$−4=−1，
解得a=$\frac{5}{3}$，
∴抛物线C1的表达式为y=$\frac{5}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x−4。
(2)由抛物线C1可得y=$\frac{5}{3}$(x+$\frac{2}{5}$)²−$\frac{64}{15}$，
由平移可得抛物线C2的表达式为y=$\frac{5}{3}$(x+$\frac{2}{5}$−1)²−$\frac{64}{15}$+3=$\frac{5}{3}$(x−$\frac{3}{5}$)²−$\frac{19}{15}$，
当x = 1时，y=$\frac{5}{3}$×(1−$\frac{3}{5}$)²−$\frac{19}{15}$=−1，
∴点D(1,−1)在抛物线C2上(方法:将点D的横坐标代入函数表达式中计算出y值，与点D的纵坐标相等，即可判定点D在函数图象上)。
(3)存在点P使得△PBD是等腰直角三角形。理由如下:
在抛物线C1中，令y=0，
得$\frac{5}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x−4=0，
解得x1=−2，x2=$\frac{6}{5}$，
∴点A($\frac{6}{5}$,0)，点B(−2,0)。
分三种情况讨论:
①当点D为直角顶点时，如图1所示，
△BDP1是等腰直角三角形，则BD=DP1，
过点D作直线l//x轴，过点B作BM⊥l于点M，过点P1作P1N⊥l于点N，
则∠BMD=∠BDP1=∠DNP1=90°，
∴∠MBD+∠MDB=∠MDB+∠NDP1=90°，
即∠MBD=∠NDP1(提示:同角的余角相等)。
∴△BDM≌△DP1N(AAS)。
∴DN=BM=1，P1N=DM=3。
∴点P1的坐标为(1+1,3−1)，
即P1(2,2)。
　　　　　　　
②当点B为直角顶点时，如图1所示，
△BDP2是等腰直角三角形，则BD=BP2，
过点B作直线m//y轴，过点P2作P2Q⊥m于点Q，
则易证△BP2Q≌△DBM，同理可求点P2(−1,3)。
③当点P为直角顶点时，如图2所示，
　　　　　　　
△BDP3是等腰直角三角形，则BP3=DP3，
过点P3作直线l//x轴，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，
同理可证△BP3M≌△P3DN，
∴BM=P3N，MP3=DN。
设点P3(p,q)，则$\begin{cases}q=1-p\\p+2=q+1\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=0\\q=1\end{cases}$，
即点P3(0,1)，
经检验，点P3不在抛物线C2上。
综上所述，在抛物线C2上存在点P使得△PBD是等腰直角三角形，点P的坐标为(2,2)或(−1,3)。