《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

3.(2025·广东深圳)如图,同一平面直角坐标系下的正比例函数$ y = ax $与反比例函数$ y = \frac{2 - a}{x} $的图象相交于点A和点B.若点A的横坐标为1,则点B的坐标为$(-1,-1)$.

答案： 3.$(-1,-1)$　[解析]一次函数与反比例函数图象的交点　根据题意可得$x = 1$是方程$ax=\frac{2 - a}{x}$的一个解，$\therefore a = 2 - a$，解得$a = 1$.$\therefore$正比例函数的解析式为$y = x$.当$a = 1$时，方程$ax=\frac{2 - a}{x}$可化为$x^2 = 1$，解得$x = ±1$.把$x = -1$代入$y = x$得，$y = -1$，$\therefore$点B的坐标为$(-1,-1)$.

4.(2025·江西)如图,直线$ l:y = \frac{2}{3}x + m $与反比例函数$ y = \frac{k}{x} $ ($ k \neq 0 $)的图象交于点$ A(6,2) $.
(1)求一次函数和反比例函数解析式.
(2)将直线$ l $向上平移,在x轴上方与反比例函数图象交于点C,连接OA,OC,当$ \angle 1 = \angle 2 $时,求点C的坐标及直线$ l $平移的距离.

答案：
4.待定系数法求一次函数与反比例函数解析式+一次函数图象的平移变换+全等三角形的判定与性质+相似三角形的判定与性质+正切的定义
解:
(1)$\because$直线$l:y=\frac{2}{3}x + m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点A$(6,2)$，
$\therefore\frac{2}{3}×6 + m = 2$，$\frac{k}{6}=2$.
$\therefore m = -2$，$k = 12$.
$\therefore$一次函数和反比例函数解析式分别为$y=\frac{2}{3}x - 2$，$y=\frac{12}{x}$.
(2)解法一(相似三角形法)：如图，作$AD\perp x$轴于点D，$CE\perp y$轴于点E(巧作辅助线:构造直角三角形，为后面证明三角形相似创造条件)，
$\therefore\angle ADO=\angle CEO = 90^{\circ}$.
$\because\angle1=\angle2$，
$\therefore\triangle AOD\sim\triangle COE$.
$\therefore\frac{AD}{CE}=\frac{OD}{OE}$.
$\because A(6,2)$，
$\therefore AD = 2$，$OD = 6$.
$\therefore\frac{2}{CE}=\frac{6}{OE}$.
$\therefore OE = 3CE$.
设$CE = a$，
$\therefore OE = 3a$.
$\therefore C(a,3a)$.
$\because$点C在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
$\therefore a×3a = 12$.
解得$a = 2$或$a = -2$(舍去).
$\therefore C(2,6)$.
设直线$l$平移后的解析式为$y=\frac{2}{3}x + n$，
$\therefore\frac{2}{3}×2 + n = 6$.
$\therefore n=\frac{14}{3}$.
$\therefore$直线$l$向上平移的距离为$n - m=\frac{14}{3}-(-2)=\frac{20}{3}$.

解法二(正切的定义法)：如图，作$AD\perp x$轴于点D，$CE\perp y$轴于点E(巧作辅助线:构造直角三角形，为后面利用正切求解创造条件)，
$\because\angle1=\angle2$，
$\therefore\tan\angle1=\tan\angle2$.
$\therefore\frac{AD}{OD}=\frac{CE}{OE}$.
$\because A(6,2)$，
$\therefore\frac{AD}{OD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
$\therefore\frac{CE}{OE}=\frac{1}{3}$.
$\therefore OE = 3CE$.
(此后同解法一)
解法三(全等三角形法)：如图，作$AD\perp x$轴于点D，$CE\perp y$轴于点E，
$\therefore\angle ADO=\angle CEO = 90^{\circ}$.
$\because\angle1=\angle2$，
$\therefore\triangle AOD\sim\triangle COE$.
根据反比例函数图象性质可知$S_{\triangle COE}=S_{\triangle AOD}$.
$\therefore\triangle AOD$与$\triangle COE$相似比为1.
$\therefore\triangle AOD\cong\triangle COE$.
$\therefore OD = OE$，$AD = CE$.
$\because A(6,2)$，
$\therefore C(2,6)$.
(此后同解法一)
解法四(特殊点法)：(此前同解法一)
$\therefore C(2,6)$.
在直线$l$上，当$x = 2$时，$y=\frac{2}{3}×2 - 2=-\frac{2}{3}$.
$\therefore$直线$l$向上平移的距离为$6-(-\frac{2}{3})=\frac{20}{3}$.