《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

(2025·广东中山一中5月抽调)先化简:$\left(1 - \frac{1}{x - 1}\right) ÷ \frac{x^2 - 4}{x - 1}$,再从$-2, -1, 1, 2$中选择一个合适的数作为$x$的值代入求值.

答案： 分式的化简求值
解：$(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x^2 - 4}{x - 1}$
=$(\frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 1}$(提示:用平方差公式分解
因式)
=$\frac{x - 2}{x - 1} · \frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}$
=$\frac{1}{x + 2}$,
$\because x \neq 1, \pm 2$(易错:所有分母都不能为0)，
$\therefore$把$x = -1$代入得，原式=$\frac{1}{-1 + 2} = 1$.

(2024·青海)先化简,再求值:$\left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right) ÷ \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right)$,其中$x = 2 - y$.

答案： 分式的化简及求值
解：$(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) ÷ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$
=$(\frac{x}{xy} - \frac{y}{xy}) ÷ (\frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy})$
=$\frac{x - y}{xy} × \frac{xy}{x^2 - y^2}$
=$\frac{x - y}{xy} × \frac{xy}{(x + y)(x - y)}$
=$\frac{1}{x + y}$
$\because x = 2 - y$，
$\therefore x + y = 2$，
$\therefore$原式=$\frac{1}{x + y} = \frac{1}{2}$.

(2025·重庆)先化简,再求值:$(x + 1)(3x - 1) - x(3x + 1) + \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} ÷ \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{x + 1}\right)$,其中$x = | - 3| + (\pi - 4)^0$.

答案： 整式的化简+分式的化简+实数的运算
解：原式=$3x^2 + 2x - 1 - 3x^2 - x + \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2} ÷ \frac{1 - x}{x(x + 1)}$
=$x - 1 + \frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2} · \frac{x(x + 1)}{1 - x}$（提醒:严格按照混合
运算顺序进行计算）
=$x - 1 - \frac{x^2}{x + 1}$
=$\frac{x^2 - 1 - x^2}{x + 1}$
=$-\frac{1}{x + 1}$.
$\because x = | - 3| + (\pi - 4)^0 = 4$(易错:容易把0次幂结果写成0)，
$\therefore$原式=$-\frac{1}{4 + 1}$
=$-\frac{1}{5}$.