《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1. [2025·甘肃(武威、定西等地)]如图 1,抛物线$ y = a\left(x + \frac{5}{2}\right)·(x - 4)(a \neq 0) $分别与$ x $轴、$ y $轴交于$ A $,$ B(0, -4) $两点,$ M $为$ OA $的中点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)连接$ AB $,过点$ M $作$ OA $的垂线,交$ AB $于点$ C $,交抛物线于点$ D $,连接$ BD $,求$ \triangle BCD $的面积.
(3)点$ E $为线段$ AB $上一动点(点$ A $除外),将线段$ OE $绕点$ O $顺时针旋转$ 90° $得到$ OF $.
①当$ AE = \sqrt{2} $时,请在图 2 中画出线段$ OF $后,求点$ F $的坐标,并判断点$ F $是否在抛物线上,说明理由.
②如图 3,点$ P $是第四象限的一动点,$ \angle OPA = 90° $,连接$ PF $,当点$ E $运动时,求$ PF $的最小值.

答案：

(1)
∵抛物线$y=a(x+\frac{5}{2})(x - 4)$经过点$B(0, - 4)$，
∴$-4 = a×(0+\frac{5}{2})(0 - 4)$，
∴$a=\frac{2}{5}$。
∴$y=\frac{2}{5}x^{2}-\frac{3}{5}x - 4$[或$y=\frac{2}{5}(x+\frac{5}{2})(x - 4)$]
(2)如图1，
∵抛物线$y=\frac{2}{5}(x+\frac{5}{2})(x - 4)$交$x$轴于点$A$，
∴点$A(4,0)$。
　　　　　　　　
∵点$B(0, - 4)$，
∴$OA = OB = 4$。
∵$\angle AOB = 90^{\circ}$，
∴$\angle OAB = 45^{\circ}$。
∵$M$为$OA$的中点，
∴$OM = MA=\frac{1}{2}OA = 2$。
∵$MD\perp OA$，$\angle OAB = 45^{\circ}$，
∴点$D$的横坐标为$2$，$MC = MA = 2$。
∴$MD=\vert\frac{2}{5}×(2+\frac{5}{2})×(2 - 4)\vert=\vert-\frac{18}{5}\vert=\frac{18}{5}$(提示：点$D$纵坐标的绝对值)。
∴$CD = MD - MC=\frac{18}{5}-2=\frac{8}{5}$。
∴$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}CD· OM=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}×2=\frac{8}{5}$。
(3)①[第1步，画$OF$，连接$BF$，证明$\triangle BOF\cong\triangle AOE$，从而得到$BF = AE=\sqrt{2}$]
如图2，画出线段$OF$，连接$BF$。

∵$\angle EOF=\angle AOB = 90^{\circ}$，
即$\angle BOF+\angle BOE=\angle AOE+\angle BOE = 90^{\circ}$，
∴$\angle BOF=\angle AOE$。
∵$OB = OA$，$OF = OE$，
∴$\triangle BOF\cong\triangle AOE(SAS)$。
∴$\angle OBF=\angle OAE = 45^{\circ}$，$BF = AE=\sqrt{2}$。
[第2步，作$FQ\perp OB$，求点$F$的坐标]
过点$F$作$FQ\perp OB$于点$Q$，
∴$FQ = BQ = 1$。
∴$OQ = OB - QB = 4 - 1 = 3$。
∴点$F( - 1, - 3)$。
[第3步，验证点$F$是否在抛物线上]
当$x = - 1$时，$y=\frac{2}{5}×(-1+\frac{5}{2})(-1 - 4)= - 3$。
∴点$F( - 1, - 3)$在抛物线上。
②[第1步，连接$BF$并延长交$x$轴于点$G$，作$MH\perp BG$]
如图3，连接$BF$并延长交$x$轴于点$G$(若点$E$与点$B$重合，则点$F$与点$G$重合)，过点$M$作$MH\perp BG$，垂足为$H$，连接$PM$，$MF$。
　　　　　　
[第2步，证明$\triangle MHG$为等腰直角三角形，求$MH$，$PM$的长]
由①，同理可得$\angle OBF = 45^{\circ}$，
在$\triangle BOG$中，$\angle BOG = 90^{\circ}$，
∴$OG = OB = 4$，$\angle OGB = 45^{\circ}$。
∴$\triangle MHG$是等腰直角三角形。
∵$GM = GO + OM = 4 + 2 = 6$，
∴$MH = 3\sqrt{2}$。
∵$\angle OPA = 90^{\circ}$，$M$为$OA$的中点，
∴$PM=\frac{1}{2}OA = 2$。
[第3步，求$PF$的最小值]
要$PF$的值最小，只需$PF + PM$的值最小，
∵$PF + PM\geqslant MF\geqslant MH$，
∴当$PF + PM = MF = MH$时，$PF + PM$取得最小值，此最小值为$MH$的值，
∵$MH = 3\sqrt{2}$，$PM = 2$，
∴$PF$的最小值为$3\sqrt{2}-2$。