《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1.(2025·重庆南开中学二模,节选)如图,抛物线$ y = ax^2 + bx + 2 $ ($ a \neq 0 $)交$ x $轴于点$ A $,$ B(4,0) $两点,交$ y $轴于点$ C $,连接$ AC $,$ BC $,点$ D(\frac{3}{2},0) $是线段$ AB $的中点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点$ P $是线段$ CB $上方抛物线上的一个动点,过点$ P $作$ PF // y $轴交$ BC $于点$ F $,点$ M $,$ N $是$ y $轴上的动点,且$ MN = 1 $,连接$ MP $,$ ND $,$ DP $,当$ PF $取得最大值时,求四边形$ PMND $周长的最小值.

答案：
1.待定系数法求函数的表达式+二次函数的图象和性质+勾股定理
解:
(1)
∵点D($\frac{3}{2}$,0)是线段AB的中点,且点B(4,0),
∴A(−1,0).
把A(−1,0),B(4,0)的坐标代入y=ax²+bx+2(a≠0)中,得$\begin{cases}a - b + 2 = 0,\\16a + 4b + 2 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\b = \frac{3}{2},\end{cases}$
∴抛物线的表达式为y=−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2.
(2)[第1步,求点C的坐标,由待定系数法求直线BC的表达式,设P(t,−$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2),表示出PF,结合二次函数的性质求PF的最大值与此时点P的坐标,从而可得PD]
由题知,抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2交y轴于点C(0,2),设直线BC的表达式为y=kx+2,k≠0,
把B(4,0)的坐标代入,得4k+2=0，
解得k=−$\frac{1}{2}$,
∴直线BC的表达式为y=−$\frac{1}{2}$x+2.
设P(t,−$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2),0＜t＜4,
则F(t,−$\frac{1}{2}$t+2),
∴PF=−$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2−(−$\frac{1}{2}$t+2)=−$\frac{1}{2}$t²+2t
=−$\frac{1}{2}$(t−2)²+2.
∵−$\frac{1}{2}$＜0,
∴当t = 2时，PF取得最大值2，此时点P的坐标为(2,3).
∵D($\frac{3}{2}$,0)，
∴PD = $\sqrt{(2 - \frac{3}{2})^{2}+(3 - 0)^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{2}$
[第2步，作点P关于y轴的对称点P',以P'M,MN为边作平行四边形P'MNQ，连接DQ，得点Q坐标，结合三点共线即可求四边形PMND周长的最小值]
作点P关于y轴的对称点P'(−2,3),连接P'M,以P'M,MN为边作平行四边形P'MNQ，连接DQ，如图，

则PM=P'M,NQ=P'M,P'Q=MN=1,且点D,Q是定点，
∴Q(−2,2).
∴四边形PMND的周长为PM+DN+PD+MN=NQ+DN+$\frac{\sqrt{37}}{2}$+1≥DQ+$\frac{\sqrt{37}}{2}$+1.
当且仅当D,N，Q三点共线时，四边形PMND的周长最小.
∵DQ=$\sqrt{(\frac{3}{2}+ 2)^{2}+(2 - 0)^{2}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$
∴四边形PMND周长的最小值为$\frac{\sqrt{65}}{2}$+$\frac{\sqrt{37}}{2}$+1.