《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

9. (2025·安徽)已知抛物线$y=ax^{2}+bx(a\neq0)$经过点$(4,0)$。
(1) 求该抛物线的对称轴。
(2) 点$A(x_{1},y_{1})$和$B(x_{2},y_{2})$分别在抛物线$y=ax^{2}+bx$和$y=x^{2}-2x$上（$A$，$B$与原点都不重合）。
①若$a=\frac{1}{2}$，且$x_{1}=x_{2}$，比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小。
②当$\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}$时，若$\frac{x_{2}}{x_{1}}$是一个与$x_{1}$无关的定值，求$a$与$b$的值。

答案： 9.二次函数的图象与性质
解：
(1)由题意得，$16a+4b=0$，所以$-\frac{b}{2a}=2$，故所求抛物线的对称轴是$x=2$．
(2)①由题意知，$a=\frac{1}{2}$，则$b=-2$，则抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x$，又$x_1=x_2$，故$y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$，因为点$A$与原点不重合，所以$x_1\neq0$，于是$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，故$y_2＞y_1$．
②[第1步，将点$A$，$B$的坐标代入抛物线的解析式，结合已知条件建立关于$x_1$，$x_2$的等式，整理$\frac{x_2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$]
由题意知，$y_1=ax_1^2-4ax_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$，因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，所以$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$，因为$A$，$B$与原点都不重合，所以$x_1\neq0$，$x_2\neq0$，故$\frac{x_2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}=1$，即$x_2=a(x_1-4)+2$，于是$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$．
[第2步，由$x_1$的任意性得$a$的值，并检验$a$值的合理性，再求$b$的值]
依题意知，$a+\frac{2-4a}{x_1}$是与$x_1$无关的定值，不妨将$x_1=1$和$x_1=2$分别代入$a+\frac{2-4a}{x_1}$，可得$2-3a=1-\frac{4a - 2}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}$，当$a=\frac{1}{2}$时，$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$，是一个与$x_1$无关的定值，符合题意，所以$a=\frac{1}{2}$，$b=-4a=-2$．