《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

(2025·四川遂宁)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y = x^{2}+bx + c$($b$,$c$为常数)的图象与$x$轴交于$A(-1,0)$,$B$两点,交$y$轴于点$C$,对称轴为直线$x = 1$.
(1)求二次函数表达式.
(2)连接$AC$,$BC$,抛物线上是否存在点$P$,使$\angle CBP + \angle ACO = 45^{\circ}$?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,说明理由.
(3)在$x$轴上方的抛物线上找一点$Q$,作射线$AQ$,使$\angle BAQ = 2\angle ACO$,点$M$是线段$AQ$上的一动点,过点$M$作$MN \perp x$轴,垂足为点$N$,连接$BM$,求$BM + MN$的最小值.

答案：
二次函数的图象与性质 + 锐角三角函数 + 利用对称求线段和的最小值
解：
(1)
∵抛物线的对称轴为直线x = 1，
∴ - $\frac{b}{2×1}$ = 1，即b = - 2。
∴二次函数表达式为y = x² - 2x + c。
将A(-1,0)的坐标代入得，1 + (-2) + c = 0，
解得c = - 3，
∴二次函数表达式为y = x² - 2x - 3。
(2)在y = x² - 2x - 3中，令y = 0，
即x² - 2x - 3 = 0，
解得x = 3或x = - 1，
∴B(3,0)。
当x = 0时，y = - 3，则C(0,-3)，
∴OB = OC = 3。
又AO = 1，
则tan∠ACO = $\frac{AO}{OC}=\frac{1}{3}$。
当点P在直线BC的下方时，
如图1，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCD，

∴BD = CD = 3。
∴D(3,-3)。
设C关于x = 1的对称点为E，则E(2,-3)，
∴DE = 1。
∴tan∠DBE = $\frac{DE}{BD}=\frac{1}{3}$。
∴∠DBE = ∠ACO。
∵∠DBE + ∠CBE = ∠CBD = 45°，
∠CBP + ∠ACO = 45°，
∴点P与点E重合。
∴P(2,-3)。
当点P在直线BC的上方时，
如图2，作点E关于BC的对称点P'，

∵△OBC，△BCD都是等腰直角三角形，CP' = CE = 2，
∴点P'在y轴上，即P'(0,-1)。
综上所述，抛物线上存在点P，使∠CBP + ∠ACO = 45°，点P的坐标为(2,-3)或(0,-1)。
(3)[第1步，在OC上截取AF = FC，设FC = AF = n，表示出OF，利用勾股定理求出n的值，得∠BAQ的正切值，在AQ上取一点G，使得BG⊥x轴，进一步求出点G的坐标]
如图3，在OC上取一点F，使得AF = FC，

∴∠AFO = 2∠ACO。
∵∠BAQ = 2∠ACO，
∴∠BAQ = ∠AFO。
设FC = AF = n，
则OF = OC - FC = 3 - n。
在Rt△AOF中，AO = 1，OF = 3 - n，AF = n，
AF² = AO² + OF²，
即n² = 1² + (3 - n)²，
解得n = $\frac{5}{3}$，
∴OF = 3 - $\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$。
∴tan∠BAQ = tan∠AFO = $\frac{AO}{OF}=\frac{3}{4}$。
在AQ上取一点G，使得BG⊥x轴，
∵AB = 3 - (-1) = 4，tan∠BAQ = $\frac{BG}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴BG = 3，即G(3,3)。
[第2步，作点B关于AQ的对称点B'，连接BB'交AG于点T，作B'N⊥x轴于点N，交AQ于点M，得B'，M，N三点共线时BM + MN取得最小值]
如图4，作点B关于AQ的对称点B'，连接BB'交AG于点T，过点B'作B'N⊥x轴，垂足为点N，交AQ于点M，

∴BM + MN = B'M + MN。
当B'，M，N三点共线时，B'M + MN取得最小值，即BM + MN取得最小值，最小值为B'N的长。
[第3步，利用直角三角形的面积公式和∠AGB的正弦值求出B'N的长，即为BM + MN的最小值]
在Rt△ABG中，AB = 4，BG = 3，
∴AG = 5。
∵BB'⊥AG，
∴B'T = BT = $\frac{AB×BG}{AG}=\frac{12}{5}$（提示：运用三角形的面积公式，两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积）。
∴BB' = 2BT = $\frac{24}{5}$。
∵sin∠AGB = $\frac{AB}{AG}=\frac{4}{5}$，∠ABB' + ∠TBG = ∠TBG + ∠AGB = 90°，
∴sin∠ABB' = sin∠AGB = $\frac{4}{5}$。
又sin∠ABB' = $\frac{B'N}{BB'}$，
∴B'N = BB'·sin∠ABB' = $\frac{24}{5}×\frac{4}{5}=\frac{96}{25}$。
∴BM + MN的最小值为$\frac{96}{25}$。