《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

4. (2025·四川资阳)如图,在平面直角坐标系中,$ O $为坐标原点.抛物线$ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)与$ y $轴相交于点$ A(0,2) $,且抛物线的对称轴为直线$ x = -1 $.给出以下4个结论:

①$ abc ＜ 0 $;②对于任意实数$ m $,$ am^2 + bm + c + a $的值不小于2;③若$ P $是对称轴上的一点,则$ OP + AP $的最小值为$ 2\sqrt{2} $;④若点$ (x_1,y_1),(x_2,y_2) $在抛物线上,满足$ x_1 ＜ x_2 $且$ x_1 + x_2 + 2 ＞ 0 $,则一定有$ y_1 ＜ y_2 $.
其中,所有正确结论的序号为②③④.

答案：
4.②③④ [解析]二次函数的图象与性质+函数与不等式的关系+利用轴对称的性质求线段和的最小值 对于结论①:由图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0.对称轴为直线x=−1,即−$\frac{b}{2a}$=−1,
∴b=2a＞0.又抛物线与y轴交于点A(0,2)，
∴c = 2＞0.
∴abc＞0.结论①错误.对于结论②:
∵抛物线的对称轴是直线x=−1,
∴am²+bm+c≥a−b+c.又b=2a,c=2,
∴am²+bm+c+a≥2a−2a+2,即am²+bm+c+a的值不小于2.结论②正确.对于结论③:如图，作点O关于对称轴x=−1的对称点M，连接AM与对称轴交于点P，连接OP(巧作辅助线;利用对称点求线段和的最小值),则OP=MP，
∴OP+AP=PM+AP=AM,即OP+AP的最小值为线段AM的长.在Rt△AOM中,OM=2,OA=2,
∴AM=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$,即OP+AP的最小值为2$\sqrt{2}$.结论③正确.对于结论④:
∵x₁＜x₂,x₁+x₂+2＞0,
∴x₂−(−1)＞−1−x₁.
∵抛物线的对称轴是直线x=−1,抛物线开口向上，
∴y₂＞y₁,即y₁＜y₂(提示:在开口向上的抛物线上，到对称轴距离越远的点函数值越大).结论④正确.综上所述，正确的结论是②③④.
　　　　　　　　　

5. (2025·浙江)已知抛物线$ y = x^2 - ax + 5 $($ a $为常数)经过点$ (1,0) $.
(1)求$ a $的值.
(2)过点$ A(0,t) $与$ x $轴平行的直线交抛物线于$ B,C $两点,且点$ B $为线段$ AC $的中点,求$ t $的值.
(3)设$ m ＜ 3 ＜ n $,抛物线的一段$ y = x^2 - ax + 5(m \leq x \leq n) $夹在两条均与$ x $轴平行的直线$ l_1,l_2 $之间.若直线$ l_1,l_2 $之间的距离为16,求$ n - m $的最大值.

答案：
5.二次函数的图象与性质+解一元二次方程
解:
(1)把点(1,0)的坐标代入得，1−a+5=0,解得a=6.
(2)由
(1)知二次函数表达式为y=x²−6x+5,对称轴为直线x=3.因为点A坐标(0,t)，且点B为线段AC的中点，设点B(s,t),则点C(2s,t)(提示:中点坐标公式).如图1,由对称性可得:$\frac{s+2s}{2}$=3,解得s=2,
　　　　　　　　　　 当s=2时,t=−3.
(3)如图2,因为y=x²−6x+5=(x−3)²−4,

所以抛物线的顶点坐标为(3，−4).因为抛物线的一段y=x²−ax+5(m≤x≤n)夹在平行线l₁,l₂之间,且m＜3＜n,所以下方的平行线不能在顶点(3，−4)上方.因为直线l₁,l₂之间的距离为16,所以要使n−m最大,则l₁经过顶点(3,−4)，此时l₂为直线y=12.所以当y=12时,(x−3)²−4=12.解得:x₁=−1,x₂=7,所以n−m最大值为7−(−1)=8.