《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

2.(2025·重庆巴蜀中学5月调研,节选)如图1,抛物线$ y = -x^2 + bx + c $与$ x $轴交于$ A $,$ B $两点,与$ y $轴交于点$ C $,已知$ A(-4,0) $,$ OA = OC $,连接$ AC $,点$ D $是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,点$ P $是位于直线$ AC $上方抛物线上一点,过点$ P $作$ PE // y $轴交$ AC $于点$ E $,连接$ BE $,$ BC $,点$ F $是直线$ AC $上一动点,当$\frac{S_{\triangle PCE}}{S_{\triangle BCE}} = \frac{4}{5}$时,求出此时点$ P $的坐标及$\triangle PDF$周长的最小值.

答案：
2.二次函数的综合应用
解:
(1)
∵OA=OC,
∴点C的坐标为(0,4).
$\begin{cases}-16 - 4b + c = 0,\\b = -3,\end{cases}$
c = 4.
∴抛物线的解析式为y=−x²−3x+4.
(2)如图,过点B作BG⊥EC于点G,过点P作PH⊥EC于点H,过点B作y轴的平行线交直线AC于点M.

由题易得直线AC:y=x+4,D(−$\frac{3}{2}$,$\frac{25}{4}$),M(1,5).
设P(m,−m²−3m+4),E(m,m+4)，
∵PE//y轴,
∴∠BME = ∠PEM.
又BG⊥EC，PH⊥EC，
∴∠BGC = ∠PHE = 90°.
∴△PHE∽△BGM.
∵$\frac{S_{\triangle PCE}}{S_{\triangle BCE}} = \frac{PH}{BG}=\frac{PE}{BM}=\frac{1}{5}(-m^{2}-4m)=\frac{4}{5}$，
即 -m²−4m = 4，
解得m₁=m₂=−2.
∴P(−2,6).
作P关于AC的对称点P₁(2,2)，
当点D，P₁，F共线时，△PDF的周长最小，
且最小值 = DP₁+ PD = $\sqrt{(2 + \frac{3}{2})^{2}+(\frac{25}{4}-2)^{2}}+\sqrt{(2 - \frac{3}{2})^{2}+(\frac{25}{4}-6)^{2}} = \frac{\sqrt{485}+\sqrt{5}}{4}$