《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1. (2024·四川内江,节选)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$ y = -2x + 6 $的图象与$ x $轴交于点$ A $,与$ y $轴交于点$ B $,抛物线$ y = -x^2 + bx + c $经过$ A,B $两点,在第一象限的抛物线上取一点$ D $,过点$ D $作$ DC \perp x $轴于点$ C $,交$ AB $于点$ E $.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)是否存在点$ D $,使得$ \triangle BDE $和$ \triangle ACE $相似? 若存在,请求出点$ D $的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：

(1)在$y = -2x + 6$中，令$y = 0$，则$-2x + 6 = 0$，解得$x = 3$；令$x = 0$，则$y = 6$。
$\therefore A(3,0),B(0,6)$。
把$A(3,0),B(0,6)$的坐标代入$y = -x^{2} + bx + c$，得$\begin{cases} -9 + 3b + c = 0 \\c = 6 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b = 1 \\c = 6 \end{cases}$。
$\therefore$这条抛物线所对应的函数表达式为$y = -x^{2} + x + 6$。
(2)存在点$D$，使得$\triangle BDE$和$\triangle ACE$相似。
设点$D(t,-t^{2}+t+6),0 \lt t \lt 3$。
$\because \triangle BDE$和$\triangle ACE$相似，$\angle BED = \angle AEC$，
$\therefore \triangle ACE \backsim \triangle BDE$或$\triangle ACE \backsim \triangle DBE$。
① 如图1，当$\triangle ACE \backsim \triangle BDE$时，$\angle BDE = \angle ACE = 90^{\circ}$。

$\therefore BD // AC$。
$\therefore$点$D$纵坐标为$6$。
$\therefore -t^{2} + t + 6 = 6$，
解得$t = 0$(舍去)或$t = 1$。
$\therefore D(1,6)$。
② 如图2，当$\triangle ACE \backsim \triangle DBE$时，$\angle BDE = \angle CAE$。
过点$B$作$BH \perp DC$于点$H$。

则$H(t,6)$。
$\because BH \perp DC$，
$\therefore \angle BHD = 90^{\circ}$。
$\because \frac{BH}{DH} = \tan\angle BDE = \tan\angle CAE = \frac{OB}{OA}$，
$\therefore \frac{t}{-t^{2} + t} = \frac{6}{3} = 2$。
$\therefore -2t^{2} + 2t = t$。
解得$t = 0$(舍去)或$t = \frac{1}{2}$。
$\therefore D(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$。
综上所述，点$D$的坐标为$(1,6)$或$(\frac{1}{2},\frac{25}{4})$。