《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

5. (2025·河南)如图，四边形$ABCD$是平行四边形，以$BC$为直径的圆交$AD$于点$E$。
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出圆心$O$（保留作图痕迹，不写作法）。
(2) 若点$E$是$AD$的中点，连接$OA$，$CE$。求证：四边形$AOCE$是平行四边形。

答案：
5.尺规作图+圆的基本性质+平行四边形的判定与性质
　　解:
(1)
　　　　　　　　　
[解题过程]作线段BC的垂直平分线MN，与BC交于点O，则点O就是所要求作的圆心.
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AE//OC.
∵点E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD$.
∵$OC=\frac{1}{2}BC$，
∴AE=OC.
∴四边形AOCE是平行四边形.
　　　　　　　　　

6. (2025·福建)如图，矩形$ABCD$中，$AB \lt AD$。
(1) 求作正方形$EFGH$，使得点$E$，$G$分别落在边$AD$，$BC$上，点$F$，$H$落在$BD$上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
(2) 若$AB = 2$，$AD = 4$，求(1)中所作的正方形的边长。

答案：
6.尺规作图+矩形的性质+正方形的判定与性质+相似三角形的判定与性质+勾股定理+等腰直角三角形的性质
　　解:
(1)如图1,四边形EFGH就是所求作的正方形.
　　　　　　　　　
[解题过程]作对角线BD的垂直平分线，确定顶点E,G，再以EG为直径作圆使对角线相等且平分，确定顶点F,H，即可作得正方形EFGH.
(2)[第1步，连接EG，根据矩形和正方形的性质，利用平行线得比例式，证明OB=OD]
　　如图2,连接EG交BD于点O.
　　　　　　　　
∵四边形EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°,AD//BC.
∴$\frac{OD}{OB}=\frac{OG}{OE}=1$.
∴OB=OD.
[第2步，利用勾股定理求出BD的长，进而求得OD的长，证明△EOD∽△BAD,根据比例式求出OE的长]
　　在Rt△ABD中,AB=2,AD=4,
∴$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=2\sqrt{5}$.
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\sqrt{5}$.
∵四边形EFGH是正方形，
∴EG⊥FH.
∴∠DOE=∠DAB=90°.
　　又
∵∠ODE=∠ADB,
∴△EOD∽△BAD.
∴$\frac{OE}{AB}=\frac{OD}{AD}$，即$\frac{OE}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$.
∴$OE=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
[第3步，根据等腰直角三角形的边的关系求出EH的长]
　　在Rt△EOH中，OE=OH，
∴$EH=\sqrt{2}OE=\frac{\sqrt{10}}{2}$，即正方形EFGH的边长为$\frac{\sqrt{10}}{2}$.