《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

3.(2025·长春)如图,在平面直角坐标系中,点$ O $为坐标原点,抛物线$ y = x^2 + bx $经过点$ (3,3) $,点$ A $,$ B $是该抛物线上的两点,横坐标分别为$ m $,$ m + 1 $.已知点$ M(1,1) $,作点$ A $关于点$ M $的对称点$ C $,作点$ B $关于点$ M $的对称点$ D $,构造四边形$ ABCD $.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式.
(2)当$ A $,$ B $两点关于该抛物线的对称轴对称时,求点$ C $的坐标.
(3)设抛物线在$ A $,$ B $两点之间的部分(含$ A $,$ B $两点)为图象$ G $.当$ 0 ＜ m ＜ 1 $时,若图象$ G $的最高点与最低点的纵坐标之差为$ \frac{1}{2} $,求$ m $的值.
(4)连接$ OA $,$ OB $,当$ \angle AOB = \angle OAD + \angle OBC $时,直接写出$ m $的取值范围.(这里$ \angle AOB $,$ \angle OAD $,$ \angle OBC $均是大于$ 0° $且小于$ 180° $的角)

答案：
3.二次函数的图象与性质+平行四边形的判定与性质+线段中点坐标的表示方法
解:
(1)把点$(3,3)$的坐标代入$y=x^{2}+bx$，得$9+3b=3$，解得$b=-2$.
$\therefore$该抛物线所对应的函数表达式为$y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$.
(2)抛物线$y=x^{2}-2x$的对称轴为$x=1$，
$\because$点$A$，$B$是抛物线上两点，关于抛物线的对称轴对称，且横坐标分别为$m$，$m+1$，
$\therefore m+(m+1)=2×1$，解得$m=\frac{1}{2}$
$\therefore(\frac{1}{2})^{2}-2×(\frac{1}{2})=-\frac{3}{4}$.
$\therefore$点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$.
设点$A$关于点$M(1,1)$对称的点$C$的坐标是$(p,q)$，
则$\frac{1}{2}+p=2×1$，$-\frac{3}{4}+q=2×1$，
解得$p=\frac{3}{2}$，$q=\frac{11}{4}$.
$\therefore$点$C$的坐标是$(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$.
(3)当$0＜m\leq\frac{1}{2}$时，$1＜m+1\leq\frac{3}{2}$，
$\because$图象$G$的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，
$\therefore m^{2}-2m-(-1)=\frac{1}{2}$，
解得$m=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$(舍)或$m=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
当$\frac{1}{2}＜m＜1$时，$\frac{3}{2}＜m+1＜2$，
$\because$图象$G$的最高点与最低点的纵坐标之差为$\frac{1}{2}$，
$\therefore(m+1)^{2}-2(m+1)-(-1)=\frac{1}{2}$，
解得$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍).
$\therefore m$的值为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(4)$\frac{5}{3}＜m＜4$.
【解题过程】由已知条件得四边形$ABCD$为平行四边形，
则$A$，$B$，$C$，$D$四点坐标分别为$A(m,m^{2}-2m)$，$B(m+1,m^{2}-1)$，$C(2-m,-m^{2}+2m+2)$，$D(1-m,3-m^{2})$.要满足$\angle AOB=\angle OAD+\angle OBC$，则当点$O$在平行四边形内部时，满足题意，如图.

由点$O$在直线$AD$或直线$BC$上，得到临界值.
当点$O$在直线$BC$上时，由直线$BC$与$x$轴形成的对顶角相等，得其正切值相等，
$\therefore\frac{m^{2}-1}{m+1}=\frac{-m^{2}+2m+2}{2-m}$，解得$m=4$或$m=-1$(不符合题意，舍去).
当点$O$在直线$AD$上时，由直线$AD$与$x$轴形成的对顶角相等，则其正切值相等，
$\therefore\frac{3-m^{2}}{1-m}=\frac{m^{2}-2m}{m}$，解得$m=\frac{5}{3}$或$m=0$(不符合题意，舍去).
$\therefore m$的取值范围是$\frac{5}{3}＜m＜4$.