《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

2. (2025·黑龙江齐齐哈尔)如图，在菱形$ABCD$中，$\angle A = 60°$，$AB = 4$，动点$E$从点$A$出发沿边$AB \to BC$匀速运动，运动到点$C$时停止，过点$E$作$AD$的垂线$l$，在点$E$运动过程中，垂线$l$扫过菱形(即阴影部分)的面积为$y$，点$E$运动的路程为$x(x ＞ 0)$。下列图象能反映$y$与$x$之间函数关系的是(A)

答案：
2.A【解析】动点问题+勾股定理+二次函数的图象与性质+一次函数的图象与性质+菱形的性质
[第1步，当点E在AB上时，记垂线l交AD于点F，求得AF，EF的长，再根据三角形的面积公式用x表示y，从而可得函数图象特征，据此排除选项C、D]
如图1，当点E在AB上时，记垂线l交AD于点F，
∵$\angle A = 60^{\circ}$，l⊥AD，
∴$\angle AEF = 30^{\circ}$.
∴$AF = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}x$（提示：在直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）.
∴$EF = \sqrt{AE^{2} - AF^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$.
∴$y = \frac{1}{2}AF· EF = \frac{1}{2}·\frac{1}{2}x·\frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}$，此时图象为开口向上的抛物线的对称轴右侧的一部分.故排除选项C、D.
[第2步，当点E在BC上且l与AD相交于点F时，作BH⊥AD，求得AH，BH的长，再根据三角形的面积公式、矩形的面积公式用x表示y，从而可得函数图象特征]
如图2，当点E在BC上且l与AD相交于点F时，过点B作BH⊥AD于点H(巧作辅助线：作垂线，构造直角三角形和矩形，为解直角三角形求线段长做准备).
∵$\angle A = 60^{\circ}$，BH⊥AD，
∴$\angle ABH = 30^{\circ}$.
∴$AH = \frac{1}{2}AB = 2$.
∴$BH = \sqrt{AB^{2} - AH^{2}} = 2\sqrt{3}$.
∴$y = S_{\triangle ABH} + S_{矩形BEFH} = \frac{1}{2}×2×2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(x - 4) = 2\sqrt{3}x - 6\sqrt{3}$，此时图象为一条线段.
[第3步，当点E在BC上且l与CD相交于点F时，作BH⊥AD，解直角三角形求EF，再根据三角形的面积公式、菱形的面积公式用x表示y，从而可得函数图象特征，据此排除选项B]
如图3，当点E在BC上且l与CD相交于点F时，过点B作BH⊥AD于点H.
∵$\angle C = \angle A = 60^{\circ}$，l⊥BC，$CE = AB + BC - x = 8 - x$，
∴$EF = CE·\tan60^{\circ} = \sqrt{3}(8 - x)$.
∴$S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2}CE· EF = \frac{1}{2}(8 - x)·\sqrt{3}(8 - x) = \frac{\sqrt{3}}{2}(8 - x)^{2}$.
∴$y = S_{菱形ABCD} - S_{\triangle CEF} = AD· BH - \frac{\sqrt{3}}{2}(8 - x)^{2} = 4×2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}(8 - x)^{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} + 8\sqrt{3}x - 24\sqrt{3}$，此时图象为开口向下的抛物线的对称轴左侧的一部分.故排除选项B，故选A.