《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

5. (2025·成都)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90°$，$AB = 1$，$BC = 2$。以点$A$为圆心，以$AB$长为半径作弧；再以点$C$为圆心，以$BC$长为半径作弧，两弧在$AC$上方交于点$D$，连接$BD$，则$BD$的长为\frac{4\sqrt{5}}{5}。

答案：
5.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$　[解析]尺规作图+勾股定理+线段垂直平分线的判定
[第1步，设AC与BD交于点O,由尺规作图知,AC⊥BD，OB=OD,由勾股定理求AC的长]
　　　如图，连接AD,CD(巧作辅助线:连接线段，构造几何图形，使几何关系更清晰、直观)，记AC，BD交于点O，由尺规作图可知,AD=AB,CD=CB,
∴AC垂直平分线段BD(提示:根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，再结合两点确定一条直线，即可得到线段的垂直平分线)，即AC⊥BD,OB=OD.
∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.
[第2步，根据等面积法求OB，从而可得BD]
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC · OB=\frac{1}{2}AB · BC$，
∴$OB=\frac{AB · BC}{AC}=\frac{1 × 2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∴$BD=2OB=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
　　　　　　　　　　

6. (2025·江苏苏州)如图，$\angle MON = 60°$，以$O$为圆心，$2$为半径画弧，分别交$OM$，$ON$于$A$，$B$两点，再分别以$A$，$B$为圆心，$\sqrt{6}$为半径画弧，两弧在$\angle MON$内部相交于点$C$，作射线$OC$，连接$AC$，$BC$，则$\tan\angle BCO =$\frac{\sqrt{5}}{5}(结果保留根号)。

答案： 6.$\frac{\sqrt{5}}{5}$　[解析]等边三角形的判定与性质+锐角三角函数的定义+尺规作图+勾股定理　连接AB,交OC于点D,由尺规作图知OC平分∠MON.
∵∠MON=60°,OA=OB=2,
∴△OAB为等边三角形.
∴AD=BD=1,OC⊥AB.在Rt△BCD中,由勾股定理得$CD=\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}-1^{2}}=\sqrt{5}$，
∴$\tan \angle BCO=\frac{BD}{CD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

1. (2025·陕西)如图，已知$\angle AOB = 50°$，点$C$在边$OA$上。请用尺规作图法，在$\angle AOB$的内部求作一点$P$，使得$\angle AOP = 25°$，且$CP // OB$（保留作图痕迹，不写作法）。

答案：
1.尺规作图+平行线的判定
　　　解:如图，点P即为所求作.

[作法提示]作∠AOB的平分线OM,则∠AOP=25°,以C为圆心，OC长为半径作弧与OM交于点P,则∠CPO=∠COP=∠BOP=25°,则CP//OB.

2. (2025·山东青岛)已知：如图，$D$是$\angle AOB$内部一点。
求作：等腰$\triangle COE$，使点$C$，$E$分别在射线$OA$，$OB$上，且底边$CE$经过点$D$。

答案：
2.尺规作图+等腰三角形的判定+平行线的判定
　　解:如图，△COE即为所求.