《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

2. (2025·河北)如图，在五边形$ ABCDE $中，$ AE // BC $，延长$ BA $，$ BC $，分别交直线$ DE $于点$ M $，$ N $。若添加下列一个条件后，仍无法判定$ \triangle MAE \sim \triangle DCN $，则这个条件是(D)


A.$ \angle B + \angle 4 = 180° $
B.$ CD // AB $
C.$ \angle 1 = \angle 4 $
D.$ \angle 2 = \angle 3 $

答案： 2.D　[解析]相似三角形的判定
∵AE//BC,
∴∠AEM=∠CND,∠MAE=∠B.对于A,当添加∠B+∠4=180°时，
∵∠DCN+∠4=180°,
∴∠DCN=∠B.
∴∠DCN=∠MAE.
∴△MAE∽△DCN.故排除A.对于B,当添加CD//AB时,则∠DCN=∠B.
∴∠DCN=∠MAE.
∴△MAE∽△DCN.故排除B.对于C,当添加∠1=∠4时，
∵∠MAE+∠1=180°,∠DCN+∠4=180°,
∴∠DCN=∠MAE.
∴△MAE∽△DCN.故排除C.对于D,当添加∠2=∠3时，
∵∠AEM+∠2=180°,∠CDN+∠3=180°,
∴∠AEM=∠CDN=∠CND.不能判定△MAE∽△DCN,故D符合题意，故选D.

3. (2025·四川宜宾)如图，一张锐角三角形纸片$ ABC $，点$ D $，$ E $分别在边$ AB $，$ AC $上，$ AD = 2DB $，沿$ DE $将$ \triangle ABC $剪成面积相等的两部分，则$ \frac{AE}{EC} $的值为(C)


A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
3.C　[解析]相似三角形的判定与性质+三角形的面积　如图，过点D作DM//BC，交AC于点M,则△ADM∽△ABC，
∵AD=2DB,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$.
∴$\frac{S_{\triangle ADM}}{S_{\triangle ABC}}$=($\frac{2}{3}$)²=$\frac{4}{9}$(提示:相似三角形的面积比等于相似比的平方).设S△ADM=4a，则S△ABC=9a.
∵DE将△ABC分为面积相等的两部分，
∴S△ADE=$\frac{9}{2}$a.
∴$\frac{S_{\triangle ADM}}{S_{\triangle ADE}}$=$\frac{4a}{\frac{9}{2}a}$=$\frac{8}{9}$.
∵△ADM和△ADE的高相同，
∴$\frac{AM}{AE}$=$\frac{8}{9}$.又
∵$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{12}$,
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$.
∴$\frac{AE}{EC}$=3,即$\frac{AE}{EC}$的值为3.故选C;

4. (2025·广东)如图，把$ \triangle AOB $放大后得到$ \triangle COD $，则$ \triangle AOB $与$ \triangle COD $的相似比是1:3(或$\frac{1}{3}$) 。

答案： 4.1:3(或$\frac{1}{3}$)　[解析]相似三角形的性质　△AOB放大后得到△COD,则△AOB∽△COD,相似比为OB:OD=2:6=1:3.

(2025·四川内江)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物。这一原理在生活中随处可见。如图 1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头。如图 2 所示，动力臂$ OA = 150 \, cm $，阻力臂$ OB = 50 \, cm $，$ BD = 20 \, cm $，则$ AC $的长度是(B)

A.$ 80 \, cm $
B.$ 60 \, cm $
C.$ 50 \, cm $
D.$ 40 \, cm $

答案： B　[解析]相似三角形的判定与性质
∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴AC//BD.
∴△AOC∽△BOD.
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OA}{OB}$,即$\frac{AC}{20}$=$\frac{150}{50}$.
∴AC=60.故选B