《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

6. (2025·四川泸州)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是边 $AB$,$BC$ 上的点,且 $AE = CF$.求证:$AF = CE$.

答案： 6.菱形的性质+全等三角形的判定与性质
证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC.
∵AE=CF,
∴AB - AE=BC - CF,即BE=BF.
在△ABF和△CBE中，
BF=BE,
∠B=∠B,
BA=BC,
∴△ABF≌△CBE(SAS).
∴AF=CE.

1. (2025·陕西)如图,正方形$ABCD$的边长为4,点$E$为$AB$的中点,点$F$在$AD$上,$EF\perp EC$,则$\triangle CEF$的面积为(C)


A.10
B.8
C.5
D.4

答案： 1.C [解析]正方形的性质+相似三角形的判定与性质+三角形的面积公式 在正方形ABCD中，AB=BC=4，∠A=∠B = 90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2。在Rt△BEC中，由勾股定理可得CE = $\sqrt{BE^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}+4^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$。又
∵EF⊥EC，
∴∠FEC = 90°。
∴∠AFE + ∠AEF = ∠AEF + ∠BEC = 90°，即∠AFE = ∠BEC。
∴△AEF∽△BCE。
∴$\frac{EF}{CE}$ = $\frac{AE}{BC}$，即$\frac{EF}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{2}{4}$。解得EF = $\sqrt{5}$。
∴S△CEF = $\frac{1}{2}$EF·CE = $\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$ = 5，即△CEF的面积为5。故选C。

2. (2025·四川泸州)如图,在边长为2的正方形$ABCD$中,$E$为$AB$的中点,$F$为$CE$上的点,且$DF=DC$,则$AF$的长为(B)


A.$\dfrac{2\sqrt{10}}{9}$
B.$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
C.$\dfrac{4\sqrt{10}}{15}$
D.$\dfrac{4\sqrt{10}}{9}$

答案：
2.B [解析]正方形的性质+矩形的判定与性质+勾股定理+锐角三角函数的定义+等腰三角形的性质
[第1步，作FH⊥CD，FI⊥AD，根据锐角三角函数的定义及勾股定理求出CF的长]
如图，过点F作FH⊥CD于点H，作FI⊥AD于点I(巧作辅助线:构造矩形,为求AF的长创造条件)。过点D作DG⊥CE 于点G(巧作辅助线:等腰三角形“三线合一”)。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC = ∠BCD = ∠B = 90°，AB//CD。
∴四边形DHFI是矩形，∠FCH = ∠BEC。
∵E是AB的中点，
∴BE = $\frac{1}{2}$AB = 1。
∴tan∠BEC = $\frac{BC}{BE}$ = 2。
∴tan∠FCH = 2。
∵tan∠FCH = $\frac{DG}{CG}$ = 2，
∴设CG = x(x＞0)，则DG = 2x。在Rt△DCG中，CG² + DG² = CD²，
∴x² + 4x² = 4。
∴x = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
∴CG = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
∵DC = DF，
∴CF = 2CG = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
[第2步，设CH=m(m＞0)，根据锐角三角函数的定义及勾股定理求出CH，FH的长，进而得到IF，AI的长]
在Rt△FCH中，tan∠FCH = $\frac{FH}{CH}$ = 2，
∴设CH = m(m＞0)，则FH = 2m。
∵CH² + FH² = CF²，
∴m² + 4m² = $\frac{16}{5}$。
∴m = $\frac{4}{5}$。
∴CH = $\frac{4}{5}$，FH = $\frac{8}{5}$。
∴IF = DH = CD - CH = 2 - $\frac{4}{5}$ = $\frac{6}{5}$，AI = AD - DI = AD - FH = 2 - $\frac{8}{5}$ = $\frac{2}{5}$。
[第3步，在Rt△AIF中，根据勾股定理求AF的长]
在Rt△AIF中，AF = $\sqrt{AI^{2}+FI^{2}}$ = $\sqrt{(\frac{2}{5})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}}$ = $\frac{2\sqrt{10}}{5}$。故选B。

3. (2025·北京)如图,在正方形$ABCD$中,点$E$在边$CD$上,$CF\perp BE$,垂足为$F$. 若$AB=1$,$\angle EBC=30°$,则$\triangle ABF$的面积为$\frac{3}{8}$.

答案：
3.$\frac{3}{8}$ [解析]正方形的性质+矩形的判定与性质+直角三角形的性质
[第1步，过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，连接AM，由正方形的性质与三角形的面积公式得S△ABF = S△ABM]
如图，过点F分别作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，连接AM(巧作辅助线:作垂线，连接线段，构造矩形和直角三角形,从而可得相等线段与90°角)，则∠FNB = 90°，∠FMB = 90°。
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC = 90°。
∴四边形BMFN为矩形。
∴FN = BM。
∵S△ABF = $\frac{1}{2}$AB·FN，S△ABM = $\frac{1}{2}$AB·BM，
∴S△ABF = S△ABM。
[第2步，根据直角三角形的性质求CF，CM，从而可得BM，进而求解]
∵∠BFC = 90°，∠EBC = 30°，BC = AB = 1，
∴CF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$(提示:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)，∠BCF = 60°。
∴∠CFM = 90° - ∠BCF = 30°。
∴CM = $\frac{1}{2}$CF = $\frac{1}{4}$。
∴BM = BC - CM = $\frac{3}{4}$。
∴S△ABF = S△ABM = $\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{8}$。