《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

2. (2024·新疆)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在$ 0.4 $吨至$ 3.5 $吨之间时,销售额$ y_1 $(万元)与销售量$ x $(吨)的函数解析式为:$ y_1 = 5x $;成本$ y_2 $(万元)与销售量$ x $(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中$ \left( \frac{1}{2},\frac{7}{4} \right) $是其顶点.
(1)求出成本$ y_2 $关于销售量$ x $的函数解析式.
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少.
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润? 最大利润是多少.
(注:利润$ = $销售额$ - $成本)

答案： 2.二次函数的实际应用
【思维导图】
(1)已知顶点坐标→设顶点式$\xrightarrow{代入(2,4)的坐标}$a = 1→y₂ = (x - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7}{4}$。
(2)已知条件→最低成本y₂→销售额y₁→利润公式得解。
(3)设该公司所获利润为W元→W = -(x - 3)² + 7$\xrightarrow{二次函数的性质}$得解。
解：
(1)
∵点($\frac{1}{2}$, $\frac{7}{4}$)是二次函数的顶点，
∴设二次函数解析式为y₂ = a(x - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7}{4}$(技巧：已知顶点一般用顶点式求解)，
∵经过点(2, 4)，可得4 = a(2 - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7}{4}$，
解得a = 1，
∴y₂关于x的函数解析式是y₂ = (x - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7}{4}$。
(2)由题图可知，当成本最低时销售量x = $\frac{1}{2}$，最低成本y₂ = $\frac{7}{4}$，
销售额y₁ = 5×$\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$，
∴利润：$\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{3}{4}$，
∴当成本最低时，利润是$\frac{3}{4}$万元。
(3)设该公司所获利润为W元，由题意可知，
W = 5x - [(x - $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7}{4}$]
= -x² + 6x - 2
= -(x - 3)² + 7。
∵0.4 ≤ x ≤ 3.5(易错：利用二次函数的性质求最值，要注意自变量的取值范围)，
∴当x = 3时，W最大值 = 7。
答：销售量是3吨时所获利润最大，最大利润是7万元。