《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

4. (2025·山东济宁一模)模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营$ A $,$ B $,他总是先去$ A $营,再到河边饮马,之后再去$ B $营,如图1,他时常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢?
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这问题.
如图2,作$ B $关于直线$ l $的对称点$ B' $,连接$ AB' $与直线$ l $交于点$ C $,点$ C $就是所求的位置.
请你在下列的阅读、应用的过程中,完成解答.
(1)理由:如图3,在直线$ l $上另取任一点$ C' $,连接$ AC' $,$ BC' $,$ B'C' $.
$ \because $直线$ l $是点$ B $,$ B' $的对称轴,点$ C $,$ C' $在直线$ l $上,
$ \therefore CB = $CB', $ C'B = $C'B'.
$ \therefore AC + CB = AC + CB' = $AB'.
在$ \triangle AC'B' $中,$ \because AB' ＜ AC' + C'B' $,$ \therefore AC + CB ＜ AC' + C'B' $,即$ AC + CB $最小.
归纳小结:
本问题实际是利用轴对称变换的思想,把$ A $,$ B $在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中$ C $为$ AB' $与$ l $的交点,即$ A $,$ C $,$ B' $三点共线).
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型.
(2)模型应用
①如图4,正方形$ ABCD $的边长为$ 2 $,$ E $为$ AB $的中点,$ F $是$ AC $上一动点,求$ EF + FB $的最小值.
分析:解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,$ B $与$ D $关于直线$ AC $对称,连接$ ED $交$ AC $于点$ F $,则$ EF + FB $的最小值就是线段$ DE $的长度,$ EF + FB $的最小值是$\sqrt{5}$.
②如图5,已知$ \odot O $的直径$ CD $为$ 4 $,$ \angle AOD $的度数为$ 60° $,点$ B $是弧$ AD $的中点,在直径$ CD $上找一点$ P $,使$ BP + AP $的值最小,则$ BP + AP $的最小值是2$\sqrt{2}$.
③如图6,一次函数$ y = -2x + 4 $的图象与$ x $,$ y $轴分别交于$ A $,$ B $两点,点$ O $为坐标原点,点$ C $与点$ D $分别为线段$ OA $,$ AB $的中点,点$ P $为$ OB $上一动点,求$ PC + PD $的最小值,并写出取得最小值时$ P $点的坐标.

答案：
4. 轴对称的性质+勾股定理+一次函数的解析式
解:
(1)理由:如题图3,在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'.
∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在直线l上，
∴CB=CB'，C'B=C'B'.
∴AC+CB=AC+CB'=AB'.
在△AC'B'中，
∵AB'＜AC'+C'B'，
∴AC+CB＜AC'+C'B'，即AC+CB最小.
(2)①$\sqrt{5}$.
[解题过程]由题意可知，AE=1,AD=2,∠DAE=90°，
∴在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$.
②2$\sqrt{2}$.
[解题过程]如图1，作点B关于CD的对称点B'，连接OB，OB'，AB'，AB'与CD交于点P，则线段AB'的长度就是所求的BP+AP的最小值.

∵点B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，∠AOD=60°，
∴∠BOD=30°.
∵点B'和点B关于CD对称，
∴∠DOB'=∠BOD=30°.
∴∠AOB'=60°+30°=90°.
∵AO=B'O=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴AB'=$\sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$，即BP+AP的最小值为2$\sqrt{2}$.
③如图2，作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D交y轴于点P，则PC+PD的最小值就是线段C'D的长度.

一次函数y = -2x + 4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，
∴A(2,0),B(0,4).
∵点C和点D分别是OA和AB的中点，
∴C(1,0),D(1,2).
∵C与C'关于y轴对称，
∴C'(-1,0).
∴C'D=$\sqrt{(1 + 1)^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$.
∴PC + PD的最小值为2$\sqrt{2}$.
∵C'(-1,0),D(1,2)，
∴直线C'D的解析式为y=x+1.
∵在y=x+1中，当x=0时，y=1，
∴点P的坐标为(0,1).