《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

4. (2025·广东中山一中5月抽调)【综合运用】
如图,抛物线$ y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c $与$ x $轴交于点$ A $和点$ B(4,0) $,与$ y $轴交于点$ C(0,4) $,点$ E $在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点$ E $在第一象限内,过点$ E $作$ EF // y $轴,交$ BC $于点$ F $,作$ EH // x $轴,交抛物线于点$ H $,点$ H $在点$ E $的左侧,以线段$ EF,EH $为邻边作矩形$ EFGH $,当矩形$ EFGH $的周长为$ 11 $时,求线段$ EH $的长.
(3)点$ M $在直线$ AC $上,点$ N $在平面内,当四边形$ OENM $是正方形时,请直接写出点$ N $的坐标.
备用图

答案： 4.二次函数的图象与性质+矩形的性质+正方形的性质+全等三角形的判定与性质
解:
(1)
∵抛物线y=−1/2x²+bx+c经过点B(4,0)和C(0,4),
∴{−1/2×4²+4b+c=0,
解得{b=1,
c=4.
∴抛物线的解析式为y=−1/2x²+x+4.
(2)[第1步，求直线BC的解析式]
∵点B(4,0)和C(0,4),
∴设直线BC的解析式为y=kx+4,则0=4k+4,
解得k=−1.
∴直线BC的解析式为y=−x+4,
[第2步，根据直线解析式和抛物线对称性表示出点E,F,H 的坐标，从而表示出矩形EFGH的各边长]
抛物线的对称轴为直线x=−1/(2×(−1/2))=1,
设E(x,−1/2x²+x+4),且1＜x＜4,
则F(x,−x+4),
H(2−x,−1/2x²+x+4)(提示:点E和点H是抛物线上的两个点，它们关于对称轴x=1对称).
∴GH=EF=−1/2x²+x+4−(−x+4)=−1/2x²+2x,
GF=EH=x−(2−x)=2x−2.
[第3步,列方程求解]
依题意得2(−1/2x²+2x+2x−2)=11,
解得x=5(舍去)或x=3(易错.注意x的取值范围),
∴EH=4.
(3)点N的坐标为(4,4)或(−7/2,3/2)或(−5+√57/4,−17−3√57/4)或(−5−√57/4,−17+3√57/4).
[解题过程]
[第1步，求直线AC的解析式]
令y=0,则−1/2x²+x+4=0,
解得x=−2或x=4,
∴A(−2,0).
易得直线AC的解析式为y=2x+4.
[第2步，分别过点E,M作y轴的垂线，垂足分别为P,Q，证△OEP≌△MOQ,得对应边相等]
∵四边形OENM是正方形，
∴OE=OM,∠EOM=90°.
分别过点E,M作y轴的垂线，垂足分别为P,Q，
则∠OPE=∠MQO=90°,
∴∠OEP=90°−∠EOP=∠MOQ.
∴△OEP≌△MOQ(方法:“一线三直角”模型，利用“AAS"判定两个三角形全等).
∴PE=OQ,PO=MQ.
[第3步，分两种情况，根据旋转求点M,E的坐标，从而可得点N的坐标]
设点M(a,b)，当OM绕着点O顺时针旋转90°得到OE时，点E(b,−a),
∵点M在y=2x+4的图象上，
∴b=2a+4.
∴点M(a,2a+4),点E(2a+4,−a).
∵点E在y=−1/2x²+x+4的图象上，
∴−1/2(2a+4)²+2a+4+4=−a,
解得a=0或a=−5/2.
当a=0时,M(0,4),E(4,0),
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，
此时N(4,4).
当a=−5/2时,M(−5/2,−1),E(−1,5/2),点O向左平移5/2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点M,则点E向左平移5/2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点N,
则N(−1−5/2,5/2−1),即N(−7/2,3/2).
当OM绕点O逆时针旋转90°得到OE时，点E(−b,a),
易得M(a,2a+4),E(−2a−4,a).
∵点E在y=−1/2x²+x+4的图象上,
∴−1/2(−2a−4)²−2a−4+4=a,
解得a=(−11±√57)/4.
∴点M₁(−11−√57/4,−3−√57/2),E₁(3+√57/2,−11−√57/4),M₂(−11+√57/4,−3+√57/2),E₂(3−√57/2,−11+√57/4).
∴点N的坐标为(−5+√57/4,−17−3√57/4)或(−5−√57/4,−17+3√57/4).
[第4步，综合得满足条件的点N的坐标]
综上,点N的坐标为(4,4)或(−7/2,3/2)或(−5+√57/4,−17−3√57/4)或(−5−√57/4,−17+3√57/4).
方法技巧
函数图象中点的坐标关系
(1)横坐标相同,在抛物线上的点的纵坐标用二次函数解析式表示,在直线上的点的纵坐标用直线解析式表示,进一步可表示线段的长.
(2)同时在函数图象上的点,根据图象的对称性,可表示点的坐标.抛物线关于对称轴对称,双曲线关于原点对称.
(3)通过平移和旋转确定点的坐标关系.