《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

(2023·山东烟台)如图,抛物线$ y = ax^2 + bx + 5 $与$ x $轴交于$ A $,$ B $两点,与$ y $轴交于点$ C $,$ AB = 4 $.抛物线的对称轴$ x = 3 $与经过点$ A $的直线$ y = kx - 1 $交于点$ D $,与$ x $轴交于点$ E $.
(1)求直线$ AD $及抛物线的表达式.
(2)在抛物线上是否存在点$ M $,使得$ \triangle ADM $是以$ AD $为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点$ M $的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)以点$ B $为圆心,画半径为$ 2 $的圆,点$ P $为$ \odot B $上一个动点,请求出$ PC + \frac{1}{2}PA $的最小值.

答案：
二次函数的图象与性质+待定系数法求一次函数和二次函数的表达式+相似三角形的判定与性质+勾股定理
[思维导图]
(3)在线段AB上截取BN=1,连接BP，对应边成比例∠PBN=∠ABP，△PBN∽△ABP，对应边成比例NP=$\frac{1}{2}$PA→PC+$\frac{1}{2}$PA=PC+PN，连接CN，PC+$\frac{1}{2}$PA的最小值为线段CN的长，勾股定理CN→得解.
解:
(1)
∵AB=4,OE=3,
∴AE=2,OA=1.
∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(5,0).
将A(1,0)代入y=kx−1中,得k=1.
∴直线AD的表达式是y=x−1.
将A(1,0),B(5,0)的坐标分别代入y=ax²+bx+5中,得$\begin{cases}a + b + 5 = 0 \\25a + 5b + 5 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\b = -6\end{cases}$.
∴抛物线的表达式是y=x²−6x+5.
(2)存在.
由y=x²−6x+5,得点C的坐标为(0,5).
将x=3代入y=x−1,得y=2.
即点D的坐标为(3,2).
作直线BD,设直线BD的表达式为y=mx+n.
将B(5,0),D(3,2)的坐标分别代入y=mx+n中，得$\begin{cases}5m + n = 0 \\3m + n = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1 \\n = 5\end{cases}$.
∴直线BD的表达式为y=−x+5,且点C在直线BD上.
∵DE = AE = 2,DE ⊥ AB，
∴∠DAB = 45°.
∵DA = DB,
∴∠DBA = ∠DAB = 45°.
∴∠ADB = 90°.
∴点M即为点B或点C.
∴点M的坐标为(5,0)或(0,5)(提示：此时点M与点B或C重合).
过点A作AM⊥AD交抛物线于点M,过点M作MG⊥x轴，垂足为点G.

∵∠MAG = 45°,∠AGM = 90°.
∴∠AMG = 45°.
∴AG = MG.
设点M的坐标为(t,t²−6t+5)，
∴−(t²−6t+5)=t−1.
解得t₁=1(舍去),t₂=4.
∴点M的坐标为(4,−3).
综上，点M的坐标为(0,5)或(5,0)或(4，−3).
(3)在线段AB上取一点N,使BN=1,连接BP,如图2.

∵$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BN}{BP}$=$\frac{1}{2}$,∠PBN=∠ABP,
∴△PBN∽△ABP.
∴$\frac{NP}{PA}$=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{1}{2}$.
∴NP=$\frac{1}{2}$PA.
∴PC+$\frac{1}{2}$PA=PC+PN.
连接CN,故PC+$\frac{1}{2}$PA的最小值即为线段CN的长.
∵CN = $\sqrt{OC^{2} + ON^{2}} = \sqrt{5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{41}$，
∴PC+$\frac{1}{2}$PA的最小值为$\sqrt{41}$.