《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

5. (2025·新疆)如图,在平面直角坐标系中,直线$ y = k_1x + b(k_1 \neq 0) $与双曲线$ y = \frac{k_2}{x}(k_2 \neq 0) $交于$ A(1,4) $,$ B(-4,n) $两点,过点A作直线$ AC \perp AB $交x轴于点C,连接BC,则$ \triangle ABC $的面积是20.

答案： 5.20 【解析】反比例函数与一次函数的综合+三角形的面积公式+勾股定理
[第1步,根据点A的坐标求得点B的坐标]
∵直线$y=k_{1}x+b(k_{1} \neq 0)$与双曲线$y=\frac{k_{2}}{x}(k_{2} \neq 0)$交于A(1,4),B(-4,n)两点,
∴$1 × 4=-4n$.
∴$n=-1$.
∴B(-4,-1).
[第2步,设C(c,0),求$AB^{2}$,用含c的代数式表示$AC^{2}$,$BC^{2}$,由勾股定理建立方程求得c的值]
设C(c,0),则$AB^{2}=(1+4)^{2}+(4+1)^{2}=50$,$AC^{2}=(c-1)^{2}+4^{2}=(c-1)^{2}+16$,$BC^{2}=(c+4)^{2}+1^{2}=(c+4)^{2}+1$.
∵AC⊥AB,
∴$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$,即$(c+4)^{2}+1=50+(c-1)^{2}+16$,解得$c=5$.
∴C(5,0).
[第3步,求AC,AB,从而求得△ABC的面积]
∴$AC^{2}=(5-1)^{2}+16=32$.
∴$AC=4\sqrt{2}$.
∵$AB^{2}=50$,
∴$AB=5\sqrt{2}$.
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2} × 5\sqrt{2} × 4\sqrt{2}=20$.

6. (2025·黑龙江齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$ y = -x - 1 $的图象与反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $的图象在第二象限内交于点A,与x轴交于点B,点C坐标为$ (0,3) $,连接AC,BC,若$ AC = BC $,则实数k的值为-6.

答案： 6.-6 【解析】一次函数与反比例函数的图象与性质+勾股定理 在$y=-x-1$中,当$y=0$时,$0=-x-1$,解得$x=-1$,
∴点B的坐标为(-1,0).
∵点C的坐标为(0,3),
∴$BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.设点A$(m,-m-1)$,
∴$AC^{2}=(0-m)^{2}+[3-(-m-1)]^{2}=2m^{2}+8m+16$.
∵AC=BC,
∴$AC^{2}=BC^{2}$.
∴$2m^{2}+8m+16=10$,解得$m_{1}=-3$,$m_{2}=-1$(舍).
∴点A的坐标为(-3,2).
∴$k=-3 × 2=-6$.

7. (2025·四川南充)如图,一次函数与反比例函数图象交于点$ A(-3,1) $,$ B(1,n) $.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)点C在反比例函数第二象限的图象上,横坐标为a,过点C作x轴的垂线,交AB于点D,$ CD = \frac{7}{2} $,求a的值.

答案： 7.反比例函数的图象与性质+一次函数的图象与性质
解:
(1)设反比例函数解析式为$y=\frac{k_{1}}{x}(k_{1} \neq 0)$.
∵经过点A(-3,1),
∴$k_{1}=-3$.
∴反比例函数为$y=-\frac{3}{x}$.
∵B(1,n)在$y=-\frac{3}{x}$图象上,
∴$n=-3$.
∴B(1,-3).
设一次函数解析式为$y=k_{2}x+b(k_{2} \neq 0)$.
列方程组$\begin{cases}-3k_{2}+b=1, \\k_{2}+b=-3, \end{cases}$解得$\begin{cases}k_{2}=-1, \\b=-2, \end{cases}$
∴一次函数为$y=-x-2$.
(2)
∵CD⊥x轴,
∴C$(a,\frac{-3}{a})$,D$(a,-a-2)$.
∵$CD=\frac{7}{2}$,
∴$|a+2-\frac{3}{a}|=\frac{7}{2}$(提醒:两点纵坐标之差),
∴$a+2-\frac{3}{a}= \pm \frac{7}{2}$.
∵点C在第二象限,
∴$a=-6$或$a=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$.