《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1. (2025·江苏苏州)如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 3$,
$BC = 2$,$\angle C = 60^{\circ}$,$D$是线段$BC$上一点(不与端点$B$,$C$重合),连接$AD$,以$AD$为边,在$AD$的右侧作等边三角形$ADE$,线段$DE$与线段$AC$交于点$F$,则线段$CF$长度的最大值为$\frac{3}{4}$.

答案：
1. $\frac{3}{4}$ 【解析】等边三角形的判定与性质 + 锐角三角函数 + 相似三角形的判定与性质 + 垂线段最短
[第1步，作AH⊥BC，由∠C = 60°，求出AH的长]
如图，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHC中，∠C = 60°，AC = 3，
∴AH = AC·sinC = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

[第2步，证明△DAC∽△FAD，表示出AF的长]
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE = 60° = ∠C。又
∵∠DAC = ∠FAD，
∴△DAC∽△FAD，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AC}$，
∴AF = $\frac{AD^{2}}{AC}=\frac{AD^{2}}{3}$。
[第3步，将求CF的最大值转化为求AD的最小值，求得结论]
∵CF = AC - AF，
∴当AF有最小值时，CF有最大值。又当AD有最小值时，AF有最小值，
∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合。
∴AD的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AF的最小值为$\frac{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}}{3}=\frac{9}{4}$，
∴CF的最大值为3 - $\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$。

2. (2024·长春)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图1,在等边$\triangle ABC$中,$AB = 3$,点$M$,$N$分别在边$AC$,$BC$上,且$AM = CN$,试探究线段$MN$长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图2,过点$C$,$M$分别作$MN$,$BC$的平行线,并交于点$P$,作射线$AP$.在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:
(1)证明:$AM = MP$.
(2)$\angle CAP$的大小为30°度,线段$MN$长度的最小值为$\frac{3}{2}$.
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图3.小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图4,$\triangle ABC$是等腰三角形,四边形$BCDE$是矩形,$AB = AC = CD = 2$米,$\angle ACB = 30^{\circ}$.$MN$是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点$M$在$AC$上,点$N$在$DE$上.在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持$AM = DN$.钢丝绳$MN$长度的最小值为$\sqrt{6}$米.

答案： 2. 等边三角形的性质 + 平行四边形的判定与性质 + 利用垂线段最短求线段最小值
解：【问题解决】
(1)证明：
∵CP//MN，MP//BC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP = CN(依据：平行四边形的对边相等)。
又
∵AM = CN，
∴AM = MP。
(2)30° $\frac{3}{2}$。
【方法应用】$\sqrt{6}$。