《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

3. (2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部$ L_1 $,左、右门洞$ L_2,L_3 $均呈抛物线型,水平横梁$ AC = 16 m $,$ L_1 $的最高点$ B $到$ AC $的距离$ BO = 4 m $,$ L_2,L_3 $关于$ BO $所在直线对称.$ MN,MP,NQ $为框架,点$ M,N $在$ L_1 $上,点$ P,Q $分别在$ L_2,L_3 $上,$ MN // AC $,$ MP \perp AC $,$ NQ \perp AC $.以$ O $为原点,以$ AC $所在直线为$ x $轴,以$ BO $所在直线为$ y $轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$ L_1 $的函数表达式.
(2)已知抛物线$ L_3 $的函数表达式为$ y = -\frac{3}{16}(x - 4)^2 $,$ NQ = \frac{5}{2} m $,求$ MN $的长.

答案： 3.二次函数的应用
解：
(1)由题意可知，抛物线L₁的顶点B的坐标为(0, 4)，
∵AC = 16m，
∴OA = OC = 8m。
∴点A的坐标为(-8, 0)，点C的坐标为(8, 0)。
设抛物线L₁的表达式为y = ax² + 4，
将点C(8, 0)的坐标代入，得64a + 4 = 0，
解得a = -$\frac{1}{16}$，
∴抛物线L₁的表达式为y = -$\frac{1}{16}$x² + 4。
(2)
∵NQ⊥AC，MN//AC，
∴NQ = yₙ - y_Q = $\frac{5}{2}$m。
∵点N在抛物线y = -$\frac{1}{16}$x² + 4上，点Q在抛物线y = -$\frac{3}{16}$(x - 4)²上，
∴ -$\frac{1}{16}$xₙ² + 4 - [-$\frac{3}{16}$(xₙ - 4)²] = $\frac{5}{2}$。
整理得xₙ² - 12xₙ + 36 = 0，
即(xₙ - 6)² = 0。
∴xₙ = 6。
∴MN = 2xₙ = 12，
即MN的长为12m。