《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

2. (2025·四川泸州)如图,在平面直角坐标系$ xOy $中,抛物线$ y = -x^2 + bx + c $经过点$ (2,3) $,与$ x $轴交于点$ A(-1,0) $和点$ B $.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)点$ C,D $在直线$ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $上,点$ E $在$ x $轴上,$ F $是抛物线上位于第一象限的点,若四边形$ CDEF $是正方形,求点$ F $的坐标.
(3)设点$ P(x_1,y_1) $在抛物线$ y = -x^2 + bx + c $上,点$ Q(x_1,y_2) $在抛物线$ y = x^2 - (4m - 2)x + 4m^2 + 2 $上,当$ 1 \leq x_1 \leq 2 $时,$ y_2 - y_1 $的最小值为$ 3 $,求$ m $的值.

答案：
2.待定系数法求二次函数的解析式+正方形的性质+解直角三角形+解一元二次方程+二次函数的性质+全等三角形的判定与性质
解:
(1)
∵抛物线y=−x²+bx+c经过点(2,3),与x轴交于点A(−1,0),
{−4+2b+c=3,
−1−b+c=0.
解得{b=2,
c=3.
∴抛物线解析式为y=−x²+2x+3.
(2)[第1步，作DM⊥x轴,FN⊥x轴，构造直角一线三等角全等模型,得出DM=EN,ME=NF]
如图所示，过点D作DM⊥x轴于点M,过点F作FN⊥x轴于点N(巧作辅助线:由ED=EF,∠DEF=90°,联想到“直角一线三等角”全等模型)，
∴∠DME=∠ENF=90°.

∵四边形CDEF是正方形，
∴DE=EF,∠DEF=∠EDC=90°.
∴∠MDE+∠MED=∠MED+∠NEF=90°.
∴∠MDE=∠NEF.
在△MDE和△NEF中，
∠DME=∠ENF,
∠MDE=∠NEF,
DE=EF，
∴△MDE≌△NEF(AAS).
∴DM=EN,ME=NF.
[第2步，设点F的坐标，表示出点D的坐标]
设F(f,−f²+2f+3),0＜f＜3,
∴ME=NF=−f²+2f+3.
∵∠ADE=180°−∠EDC=90°,
∴∠DAE+∠DEA=∠MED+∠MDE.
∴∠MDE=∠DAE.
∴tan∠MDE=tan∠DAE.
设直线y=1/2x+1/2与y轴交于点T，
在y=1/2x+1/2中,当x=0时,y=1/2,
∴T(0,1/2).
∴OT=1/2.
∵A(−1,0),
∴OA=1.
∴tan∠OAT=OT/OA=1/2.
∴在Rt△DEM中,tan∠MDE=ME/DM=1/2.
∴EN=DM=2ME=−2f²+4f+6.
∴OM=ON−EN−ME
=f−(−2f²+4f+6)−(−f²+2f+3)
=3f²−5f−9.
∴D(3f²−5f−9,−2f²+4f+6).
[第3步,根据点D在直线y=1/2x+1/2上得出点F的坐标]
∵D(3f²−5f−9,−2f²+4f+6)在直线y=1/2x+1/2上，
∴1/2(3f²−5f−9)+1/2=−2f²+4f+6.
∴7f²−13f−20=0.
解得f=20/7或f=−1(舍去).
∴−f²+2f+3=−(20/7)²+2×20/7+3=27/49.
∴F(20/7,27/49).
(3)[第1步,构造二次函数W=y₂−y₁]
∵点P(x₁,y₁)在抛物线y=−x²+2x+3上,点Q(x₁,y₂)在抛物线y=x²−(4m−2)x+4m²+2上,
∴y₁=−x₁²+2x₁+3,y₂=x₁²−(4m−2)x₁+4m²+2.
令W=y₂−y₁,
∴W=y₂−y₁
=x₁²−(4m−2)x₁+4m²+2−(−x₁²+2x₁+3)
=2x₁²−4mx₁+4m²−1.
[第2步，表示出二次函数W图象的对称轴，根据x₁的范围对m进行分类讨论，得出m的值]
∴二次函数W=2x₁²−4mx₁+4m²−1图象的对称轴为x=−(−4m)/(2×2)=m，且图象开口向上.
若m＜1,
∵当1≤x₁≤2时,y₂−y₁的最小值为3,
∴当x₁=1时,W=2x₁²−4mx₁+4m²−1=3(提示:当1≤x₁≤2时,W随x₁的增大而增大,故当x₁=1时,W最小).
∴3=2×1²−4m+4m²−1.
解得m=(1−√3)/2或m=(1+√3)/2(舍去).
若1≤m≤2,
∵当1≤x₁≤2时,y₂−y₁的最小值为3,
∴当x₁=m时,W=2x₁²−4mx₁+4m²−1=3(提示:当1≤x₁≤2时，W在图象的对称轴处取得最小值).
∴2m²−4m²+4m²−1=3.
解得m=√2或m=−√2(舍去).
若m＞2,
∵当1≤x₁≤2时,y₂−y₁的最小值为3,
∴当x₁=2时,W=2x₁²−4mx₁+4m²−1=3(提示:当1≤x₁≤2时,W随x₁的增大而减小,故当x₁=2时,W最小).
∴2×2²−8m+4m²−1=3.
解得m₁=m₂=1(舍去).
综上所述,m=(1−√3)/2或m=√2.
一线三等角模型
1.同侧型一线三等角(见图1~图3):

图1　锐角一线三等角

图2　直角一线三等角(“K型图”)

图3钝角一线三等角
条件:∠A=∠CED=∠B,任意一边相等;
证明思路:∠A=∠B,∠C=∠BED,任意一边相等，可以推出△ACE≌△BED.
2.异侧型一线三等角(见图4~图6):

图4锐角一线三等角

图5　直角一线三等角

图6　钝角一线三等角
条件:∠FAC=∠ABD=∠CED,任意一边相等;
证明思路:∠CAE=∠EBD,∠C=∠BED,任意一边相等,可以推出△ACE≌△BED.