《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

7. (2025·江苏连云港)已知二次函数$y=x^{2}+2(a+1)x+3a^{2}-2a+3$，$a$为常数。
(1) 若该二次函数的图象与直线$y=2a^{2}$有两个交点，求$a$的取值范围。
(2) 若该二次函数的图象与$x$轴有交点，求$a$的值。
(3) 求证：该二次函数的图象不经过原点。

答案： 7.二次函数的图象与性质+二次函数与一元二次方程的关系+一元二次方程根的判别式
解：
(1)由二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，知函数的最小值小于$2a^2$，二次函数的最小值为$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$，即$2a^2-4a+2＜2a^2$，解得$a＞\frac{1}{2}$．
(2)因为二次函数的图象与$x$轴有交点，所以$\Delta=4(a+1)^2-4×1×(3a^2-2a+3)=-8a^2+16a-8=-8(a-1)^2\leq0$，又因为$-8(a-1)^2\geq0$，所以$8(a-1)^2=0$，解得$a=1$（技巧：二次函数的图象与$x$轴的交点个数，等于所对应的一元二次方程根的个数，一般用根的判别式$\Delta$与$0$的大小关系作为判断依据）．
(3)证明：当$x=0$时，$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$，所以二次函数的图象不经过原点．