《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1. [2025·山东(临沂、济宁等地)]如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数$ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $的图象经过点B,则满足$ y \geq 2 $的x的取值范围为 (A)


A.$ 0 ＜ x \leq 2 $
B.$ x \geq 2 $
C.$ 0 ＜ x \leq 4 $
D.$ x \geq 4 $

答案： 1.A 【解析】正方形的面积+反比例函数的图象与性质
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴设点B的坐标为(b,b).
∴$b^{2}=4$，解得$b=2$（负舍）.
∴点B的坐标为(2,2).
∵函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B，
∴满足$y \geq 2$的$x$的取值范围为$0＜x \leq 2$(易错:忽略图象在第一象限,$x＞0$这一限制条件).故选A.

2. (2025·四川宜宾)如图,O是坐标原点,反比例函数$ y = -\frac{4}{x}(x ＞ 0) $的图象与直线$ y = -2x $交于点A,点B在$ y = -\frac{4}{x}(x ＞ 0) $的图象上,直线AB与y轴交于点C,连接OB.若$ AB = 3AC $,则OB的长为 (D)


A.$ \sqrt{10} $
B.$ \frac{5\sqrt{2}}{2} $
C.$ \sqrt{34} $
D.$ \frac{\sqrt{130}}{2} $

答案：
2.D 【解析】相似三角形的判定与性质+一次函数与反比例函数的综合应用+勾股定理 如图,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,则AM//BN,
∴△CAM∽△CBN.
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BN}$.
∵AB=3AC,
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{4}$.
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{1}{4}$.
联立$\begin{cases}y=-\frac{4}{x}, \\ y=-2x, \end{cases}$
解得$\begin{cases}x_{1}=\sqrt{2}, \\ y_{1}=-2\sqrt{2}, \end{cases}\begin{cases}x_{2}=-\sqrt{2}, \\ y_{2}=2\sqrt{2}. \end{cases}$(舍去),
∴点A的坐标为$(\sqrt{2},-2\sqrt{2})$,即$AM=\sqrt{2}$.
∴$BN=4AM=4\sqrt{2}$,即点B的横坐标为$4\sqrt{2}$.代入反比例函数$y=-\frac{4}{x}(x＞0)$中,得$y=-\frac{4}{4\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$ON=\frac{\sqrt{2}}{2}$.在Rt△OBN中,由勾股定理可得$OB=\sqrt{ON^{2}+BN^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(4\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{130}}{2}$,即OB的长为$\frac{\sqrt{130}}{2}$,故选D.

3. (2025·山东烟台)如图,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,$ OA = 3 $,反比例函数$ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $的图象过点C和菱形的对称中心M,则k的值为 (D)


A.4
B.$ 4\sqrt{2} $
C.2
D.$ 2\sqrt{2} $

答案：
3.D 【解析】菱形的性质+反比例函数图象上点的坐标特征
∵菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,OA=3,
∴点A的坐标为(3,0).设点C的坐标为(a,b),
∵点M是菱形的对称中心,
∴M是对角线AC的中点.
∴点M的坐标为$(\frac{a+3}{2},\frac{b}{2})$.
∵点C和点M都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$ab=\frac{a+3}{2} · \frac{b}{2}$,解得$a=1$,即点C的横坐标为1.
如图,过点C作CN⊥x轴于点N,在Rt△CON中,OC=OA=3,ON=1,由勾股定理可得$CN=\sqrt{OC^{2}-ON^{2}}=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt{2}$.
∵点C在第一象限,
∴点C的坐标为(1,$2\sqrt{2}$).
∴$k=1 × 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.故选D.

4. (2025·北京)如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点,四边形OACB是矩形,函数$ y = \frac{1}{x}(x ＞ 0) $的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重合).给出下面四个结论:

①$ \triangle COM $与$ \triangle CON $的面积一定相等;
②$ \triangle MON $与$ \triangle MCN $的面积可能相等;
③$ \triangle MON $一定是锐角三角形;
④$ \triangle MON $可能是等边三角形.
上述结论中,所有正确结论的序号是 (B)

A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

答案：
4.B 【解析】反比例函数比例系数k的几何意义+反比例函数的图象与性质
∵四边形OACB是矩形,
∴$S_{\triangle OBC}=S_{\triangle AOC}$.
∵M,N是反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上的点,BN⊥y轴,MA⊥x轴,
∴$S_{\triangle OBN}=S_{\triangle OAM}=\frac{1}{2}$.
∴$S_{\triangle OBC}-S_{\triangle OBN}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle OAM}$,即△COM与△CON的面积一定相等.故①正确.由①可得$S_{\triangle OBN}=S_{\triangle OAM}$,当△MON与△MCN的面积相等时,如图1,连接AB,BM, $S_{\triangle MCN}+S_{\triangle OAM}=S_{\triangle MON}+S_{\triangle OBN}=\frac{1}{2}S_{矩形OACB}=S_{\triangle ABO}=S_{\triangle BOM}$.
∴N在直线BM上.则M,N重合,不符合题意.
∴△MON与△MCN的面积不可能相等.故②错误.当M,N在y=x的同侧时,如图2所示,不妨取$N(\frac{1}{4},4)$,$M(\frac{1}{2},2)$,过点M作MH⊥y轴于点H,过点N作NG⊥MH于点G,则$NG=2$,$MG=\frac{1}{4}$,$OH=2$,$MH=\frac{1}{2}$,
∴$\tan \angle NMH=\frac{NG}{MG}=8$.
∴$\angle NMH＞45^{\circ}$.在Rt△OMH中,$\tan \angle OMH=\frac{OH}{MH}=4$,
∴$\angle OMH＞45^{\circ}$.
∴$\angle OMN＞90^{\circ}$.此时△MON是钝角三角形,故③错误.
∵等边三角形和反比例函数的图象都是轴对称图形,当∠NOM=60°且对称轴为直线y=x时,△MON是等边三角形,如图3,故④正确.综上,①④正确,②③错误.故选B.