《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

4. (2025·上海)已知关于$ x $的一元二次方程$ 2x^2 + x - m = 0 $没有实数根，则$ m $的取值范围是$m＜-\frac{1}{8}$。

答案： 4.$m＜-\frac{1}{8}$【解析】一元二次方程根的判别式
解法一(判别式法)：$\because$一元二次方程$2x^{2}+x-m=0$没有实数根，$\therefore\Delta=1^{2}-4×2×(-m)=1+8m＜0$，解得$m＜-\frac{1}{8}$.
解法二(函数法)：$\because$一元二次方程$2x^{2}+x-m=0$没有实数根，$\therefore$二次函数$y=2x^{2}+x-m$的图象与$x$轴没有交点.
$\because2＞0$，$\therefore$二次函数$y=2x^{2}+x-m$的图象开口向上.则最小值$\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{-8m-1}{8}＞0$，$\therefore m＜-\frac{1}{8}$.

5. (2025·广东)不解方程，判断一元二次方程$ 2x^2 + x - 1 = 0 $的根的情况是方程有两个不相等的实数根。

答案： 5.方程有两个不相等的实数根 【解析】一元二次方程根的判别式 $\because$一元二次方程$2x^{2}+x-1=0$，$\therefore\Delta=1^{2}-4×2×(-1)=9＞0$，$\therefore$该方程有两个不相等的实数根.

6. [2025·山东(临沂、济宁等地)]若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 4x - m = 0 $有两个不相等的实数根，则实数$ m $的取值范围是$m＞-4$。

答案： 6.$m＞-4$【解析】一元二次方程根的判别式 $\because$方程$x^{2}+4x-m=0$有两个不相等的实数根，$\therefore\Delta=4^{2}-4×1×(-m)＞0$，解得$m＞-4$.因此实数$m$的取值范围是$m＞-4$.

7. (2025·四川南充高级中学月考10，节选)关于$ x $的方程$ x^2 - 2x + 4 - m = 0 $有两个不等的实数根，求$ m $的取值范围。

答案： 7.一元二次方程根的判别式
解：由题知，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(4-m)＞0$，
解得$m＞3$.

1. (2025·广西)已知$ x_1, x_2 $是方程$ x^2 - 20x - 25 = 0 $的两个实数根，则$ x_1 + x_2 = $(C)

A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$

答案： 1.C【考点】一元二次方程根与系数的关系

2. (2025·江苏苏州)已知$ x_1, x_2 $是关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 2x - m = 0 $的两个实数根，其中$ x_1 = 1 $，则$ x_2 = $$-3$。

答案： 2.$-3$【解析】一元二次方程根与系数的关系 由一元二次方程根与系数的关系得$1+x_{2}=-2$，解得$x_{2}=-3$.

3. (2025·四川泸州)若一元二次方程$ 2x^2 - 6x - 1 = 0 $的两根为$ \alpha, \beta $，则$ 2\alpha^2 - 3\alpha + 3\beta $的值为10。

答案： 3.10【解析】一元二次方程根与系数的关系+代数式求值
$\because$一元二次方程$2x^{2}-6x-1=0$的两根为$\alpha,\beta$，$\therefore\alpha+\beta=3$，$2\alpha^{2}-6\alpha-1=0$，$\therefore2\alpha^{2}-3\alpha+3\beta=6\alpha+1-3\alpha+3\beta=3\alpha+3\beta+$ $1=3(\alpha+\beta)+1=3×3+1=10$.

4. (2025·四川南充)设$ x_1, x_2 $是关于$ x $的方程$ (x - 1)(x - 2) = m^2 $的两根。
(1) 当$ x_1 = -1 $时，求$ x_2 $及$ m $的值。
(2) 求证：$ (x_1 - 1)(x_2 - 1) \leq 0 $。

答案： 4.一元二次方程根的判别式、根与系数的关系+解一元二次方程
解：
(1)把$x_{1}=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$得$m^{2}=6$，
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore(x-1)(x-2)=6$，即$x^{2}-3x-4=0$.
解方程得，$x_{1}=-1,x_{2}=4$.
故$x_{2}=4,m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明：方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$可化为$x^{2}-3x+2-m^{2}=0$.
$\Delta=4m^{2}+1＞0$，原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=3,x_{1}x_{2}=2-m^{2}$.
$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=2-m^{2}-3+$ $1=-m^{2}$.
$\because-m^{2}\leqslant0$，$\therefore(x_{1}-1)(x_{2}-1)\leqslant0$.