《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

2.(2025·四川广元)如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB = 8$,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,点$P$是$AB$的中点,连接$DP$,点$E$是$DP$的中点,连接$OE$,则$OE$的长是(C)


A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.4

答案： 2.C 【解析】平行四边形的性质+三角形中位线定理 $\because AB = 8$，点$P$是$AB$的中点，$\therefore PB=\frac{1}{2}AB = 4$. 在平行四边形$ABCD$中，$OB = OD$，又$E$是$PD$的中点，即$PE = DE$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}PB = 2$（提示：三角形中位线定理）. 故选$C$.

3.(2025·湖北)如图,平行四边形$ABCD$的对角线交点在原点.若$A(-1,2)$,则点$C$的坐标是(C)


A.$(2,-1)$
B.$(-2,1)$
C.$(1,-2)$
D.$(-1,-2)$

答案： 3.C 【解析】平行四边形的性质+关于原点对称的点的坐标特征 $\because$平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，$\therefore$点$A$和点$C$关于原点$O$对称. 又点$A$的坐标为$(-1,2)$，$\therefore$点$C$的坐标为$(1,-2)$. 故选$C$.

4.(2025·安徽)在如图所示的$□ ABCD$中,$E$,$G$分别为边$AD$,$BC$的中点,点$F$,$H$分别在边$AB$,$CD$上移动(不与端点重合),且满足$AF = CH$,则下列为定值的是(C)


A.四边形$EFGH$的周长
B.$\angle EFG$的大小
C.四边形$EFGH$的面积
D.线段$FH$的长

答案：
4.C 【解析】平行四边形的性质 对于$A$，取特例，不妨令平行四边形$ABCD$是边长为$2$的正方形，则当$F$，$H$分别为$AB$，$CD$的中点时，$AE = AF = BF = BG = CG = CH = DH = DE = 1$，$\therefore EH = GH = FG = EF=\sqrt{2}$，$AG = CE=\sqrt{5}$. 此时四边形$EFGH$的周长为$4\sqrt{2}$. 当点$F$为靠近点$A$的四等分点时，同理得，四边形$EFGH$的周长为$\sqrt{5}+\sqrt{13}$，$\therefore$四边形$EFGH$的周长不是定值. 故$A$错误. 对于$B$，$\angle EFG$的大小不是定值. 故$B$错误. 对于$C$，如图，连接$EG$，$FH$，$\because E$，$G$分别为$AD$，$BC$的中点，且在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore$四边形$CDEG$、四边形$ABGE$都是平行四边形. $\therefore CD = EG = AB$.
$\therefore S_{\triangle DEH}+S_{\triangle CGH}=S_{\triangle EGH}$，$S_{\triangle AEF}+S_{\triangle BFG}=S_{\triangle EFG}$.
$\therefore S_{四边形EFGH}=S_{\triangle EGH}+S_{\triangle EFG}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，为定值. 故$C$正确.
对于$D$，当$F$，$H$移动时，$FH$的长也变化，$\therefore$线段$FH$的长不是定值. 故$D$错误. 故选$C$.

5.(2025·新疆)如图,在$□ ABCD$中,$\angle BCD$的平分线交$AB$于点$E$,若$AD = 2$,则$BE =$2.

答案： 5.2 【解析】平行四边形的性质+等腰三角形的判定 $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，且$AD = 2$，$\therefore BC = AD = 2$，$AB// CD$. $\therefore\angle DCE=\angle BEC$. $\because CE$平分$\angle BCD$，$\therefore\angle BCE=\angle DCE$. $\therefore\angle BCE=\angle BEC$. $\therefore BE = BC = 2$.

6.[2025·山东(临沂、济宁等地)]如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 6$,$BC = 8$.点$P$为边$AC$上异于$A$的一点,以$PA$,$PB$为邻边作$□ PAQB$,则线段$PQ$的最小值是$\frac{24}{5}$.

答案：
6.$\frac{24}{5}$ 【解析】平行四边形的性质+勾股定理+垂线段最短+解直角三角形
[第1步，根据勾股定理求出$AC$的长]
$\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90°$，$AB = 6$，$BC = 8$，$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$.
[第2步，设$AB$与$PQ$交于点$O$，作$OP_{1}\perp AC$，利用平行四边形的性质知$OP=\frac{1}{2}PQ$，根据垂线段最短得出$P$，$P_{1}$两点重合时，$OP$取最小值]
如图，设$AB$与$PQ$交于点$O$，过点$O$作$OP_{1}\perp AC$于点$P_{1}$（巧作辅助线：构造垂线段最短），$\therefore\angle AP_{1}O = 90°$. $\because$四边形$PAQB$是平行四边形，$\therefore OA = OB=\frac{1}{2}AB = 3$，$OP = OQ=\frac{1}{2}PQ$. $\therefore$当线段$OP$取最小值时，线段$PQ$取得最小值. $\therefore$当$OP\perp AC$，即$P$，$P_{1}$两点重合时，$OP$最小（提示：垂线段最短）.
[第3步，根据锐角三角函数求出$OP_{1}$的长，进而得$PQ$的最小值]
$\because\sin\angle BAP=\frac{OP_{1}}{OA}=\frac{BC}{AC}$，$\therefore\frac{OP_{1}}{3}=\frac{8}{10}$，解得$OP_{1}=\frac{12}{5}$. $\therefore$线段$PQ$的最小值为$2OP_{1}=\frac{24}{5}$.