《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

8. (2025·河南)在二次函数$y=ax^{2}+bx-2$中，$x$与$y$的几组对应值如下表所示。

(1) 求二次函数的表达式。
(2) 求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象。
(3) 将二次函数的图象向右平移$n$个单位长度后，当$0\leqslant x\leqslant3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为$5$，请直接写出$n$的值。

答案：
8.二次函数的图象与性质+待定系数法求二次函数表达式+二次函数图象的平移
解：
(1)把$(-2,-2)$和$(1,1)$代入$y=ax^2+bx-2$，得$\begin{cases}4a-2b-2=-2\\a+b-2=1\end{cases}$，解方程组，得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$，
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$．
(2)将$y=x^2+2x-2$配方，得$y=(x+1)^2-3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$，描点、连线，如图．

(3)$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$
[解题过程]
[第1步，求出平移后的二次函数表达式及顶点坐标]
∵二次函数的表达式为$y=(x+1)^2-3$，二次函数的图象向右平移了$n$个单位长度，
∴平移后的二次函数表达式为$y=(x+1-n)^2-3$，
∴新抛物线的顶点坐标为$(n-1,-3)$．
[第2步，当$3\leq n-1$时，根据二次函数的性质，由函数最大值与最小值的差为$5$，列出关于$n$的方程，求解]
当$3\leq n-1$，即$n\geq4$时，在$0\leq x\leq3$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=0$时，$y_{最大值}=(1-n)^2-3=n^2-2n-2$，当$x=3$时，$y_{最小值}=(3+1-n)^2-3=n^2-8n+13$（难点：分类讨论，找到各自的函数最大值与最小值，这个是突破口）．
∵当$0\leq x\leq3$时，图象对应的函数最大值与最小值的差为$5$，
∴$(n^2-2n-2)-(n^2-8n+13)=5$，解得$n=\frac{10}{3}＜4$，不符合题意，舍去．
[第3步，当$0＜n-1＜3$时，根据二次函数的性质，由函数最大值与最小值的差为$5$，列出关于$n$的方程，求解]
当$0＜n-1＜3$，即$1＜n＜4$时，顶点为最低点，
∴$y_{最小值}=-3$，记$x=0$时，函数值为$y_0$，$x=3$时，函数值为$y_3$，①若$y_0＞y_3$，则$y_{最大值}=(1-n)^2-3=n^2-2n-2$，
∵当$0\leq x\leq3$时，图象对应的函数最大值与最小值的差为$5$，
∴$(n^2-2n-2)-(-3)=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$，或$n=1-\sqrt{5}$（不符合题意，舍去）．②若$y_0＜y_3$，则$y_{最大值}=(3+1-n)^2-3=n^2-8n+13$，
∵当$0\leq x\leq3$时，图象对应的函数最大值与最小值的差为$5$，
∴$(n^2-8n+13)-(-3)=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$，或$n=4+\sqrt{5}$（不符合题意，舍去）．③若$y_0=y_3$，则$n^2-2n-2=n^2-8n+13$，解得$n=\frac{5}{2}$，则$y_{最大值}=-\frac{3}{4}$，
∵$-\frac{3}{4}-(-3)=\frac{9}{4}\neq5$，
∴不符合题意．
[第4步，当$0\geq n-1$时，根据二次函数的性质，由函数最大值与最小值的差为$5$，列出关于$n$的方程，求解]
当$0\geq n-1$，即$n\leq1$时，在$0\leq x\leq3$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=0$时，$y_{最小值}=(1-n)^2-3=n^2-2n-2$，当$x=3$时，$y_{最大值}=(3+1-n)^2-3=n^2-8n+13$，
∵当$0\leq x\leq3$时，图象对应的函数最大值与最小值的差为$5$，
∴$(n^2-8n+13)-(n^2-2n-2)=5$，解得$n=\frac{5}{3}＞1$，不符合题意，舍去．
[第5步，得出结果]
综上，$n=4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$．