《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1.(2025·上海)某公司需要员工上班时通过门禁,在门禁上方设置了人脸扫描仪,如图,已知扫描仪(线段$ AB $)的竖直高度为$ 2.7 $米,某人(线段$ CD $)身高为$ 1.8 $米,只有当$ \angle CAB = 53° $时,该人才能开门,那么该人与扫描仪的水平距离为1.2米(精确到$ 0.1 $米)(备用数据:$ \sin53° \approx 0.8,\cos53° \approx 0.6,\tan53° \approx 1.33 $).

答案：
1.1.2　【解析】解直角三角形的应用　如图，过点C作$CE\perp AB$于点E(巧作辅助线：作垂直，构造直角三角形和矩形)，根据题意可得四边形$CDBE$是矩形，$\therefore BE = CD = 1.8$，$BD = CE$。
$\therefore AE = AB - BE = 2.7 - 1.8 = 0.9$。在$Rt\triangle ACE$中，$\because\angle CAE = 53^{\circ}$，$\therefore CE = AE·\tan53^{\circ}\approx0.9×1.33 = 1.197\approx1.2$。$\therefore BD = CE\approx1.2$。$\therefore$该人与扫描仪的水平距离为$1.2$米。

2.(2025·湖南)如图,某处有一个晾衣装置,固定立柱$ AB $和$ CD $分别垂直地面水平线$ l $于点$ B,D $,$ AB = 19 $分米,$ CD ＞ AB $.在点$ A,C $之间的晾衣绳上有固定挂钩$ E $,$ AE = 13 $分米,一件连衣裙$ MN $挂在点$ E $处(点$ M $与点$ E $重合),且直线$ MN \perp l $.
(1)如图1,当该连衣裙下端点$ N $刚好接触到地面水平线$ l $时,点$ E $到直线$ AB $的距离$ EG $等于$ 12 $分米,求该连衣裙$ MN $的长度.
(2)如图2,为避免该连衣裙接触到地面,在另一端固定挂钩$ F $处再挂一条长裤(点$ F $在点$ E $的右侧),若$ \angle BAE = 76.1° $,求此时该连衣裙下端$ N $点到地面水平线$ l $的距离约为多少分米(结果保留整数).
(参考数据:$ \sin76.1° \approx 0.97,\cos76.1° \approx 0.24,\tan76.1° \approx 4.04 $)

答案：
2.解直角三角形的应用
解：
(1)由题可知，在$Rt\triangle AGM$中，$AM = 13$，$MG = 12$，$AG\perp GM$，
$\therefore AG = \sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$。
$\because AB = 19$，
$\therefore BG = AB - AG = 19 - 5 = 14$。
易证四边形$GBNM$为矩形，
$\therefore MN = BG = 14$。
$\therefore$该连衣裙$MN$的长度为$14$分米。
(2)如图，过M作$MK\perp AB$于K(巧作辅助线：作垂线，构造直角三角形，为解直角三角形求线段长提供条件)(难点：在解直角三角形的应用的问题时，一般涉及仰角、俯角、方位角或已知角等条件，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形)。

$\because$在$Rt\triangle AKM$中，$AM = 13$，$\angle BAM = 76.1^{\circ}$，
$\therefore AK = AM·\cos76.1^{\circ}\approx13×0.24 = 3.12$。
$\because AB = 19$，
$\therefore BK = AB - AK\approx19 - 3.12 = 15.88$。
$\therefore BK - MN\approx15.88 - 14 = 1.88\approx2$。
$\therefore$该连衣裙下端N点到地面水平线$l$的距离约为$2$分米。