《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

(2023·湖北宜昌)如图,已知$ A(0,2) $,$ B(2,0) $.点$ E $位于第二象限且在直线$ y = -2x $上,$ \angle EOD = 90° $,$ OD = OE $,连接$ AB $,$ DE $,$ AE $,$ DB $.
(1)直接判断$ \triangle AOB $的形状:$ \triangle AOB $是等腰直角三角形三角形.
(2)求证:$ \triangle AOE \cong \triangle BOD $.
(3)直线$ EA $交$ x $轴于点$ C(t,0) $,$ t ＞ 2 $.将经过$ B $,$ C $两点的抛物线$ y_1 = ax^2 + bx - 4 $向左平移2个单位,得到抛物线$ y_2 $.
①若直线$ EA $与抛物线$ y_1 $有唯一交点,求$ t $的值.
②若抛物线$ y_2 $的顶点$ P $在直线$ EA $上,求$ t $的值.
③将抛物线$ y_2 $再向下平移$ \frac{2}{(t - 1)^2} $个单位,得到抛物线$ y_3 $.若点$ D $在抛物线$ y_3 $上,求点$ D $的坐标.

答案：
解:
(1)等腰直角三角形。
(2)如图1,△AOB,△DOE是等腰直角三角形。
　　　　　　　　　　
∴∠AOB = ∠DOE = 90°,AO = OB,OD = OE。
∴∠AOE = ∠BOD。
∴△AOE≌△BOD(SAS)。
(3)①
∵A(0,2),C(t,0)，
∴yAC = - $\frac{2}{t}$x + 2。
将C(t,0),B(2,0)代入抛物线y1 = ax² + bx - 4，
∴a = - $\frac{2}{t}$,b = $\frac{2}{t}$(t + 2)。
∴y1 = - $\frac{2}{t}$x² + $\frac{2}{t}$(t + 2)x - 4。
∵直线yAC = - $\frac{2}{t}$x + 2与抛物线y1 = - $\frac{2}{t}$x² + $\frac{2}{t}$(t + 2)x - 4有唯一交点，
∴联立解析式组成方程组解得x² - tx - 3x + 3t = 0。
∴Δ = (t + 3)² - 4 × 3t = (t - 3)² = 0(提示：利用一元二次方程根的判别式Δ = 0)。
∴t = 3。
②如图2,抛物线y1 = - $\frac{2}{t}$x² + $\frac{2}{t}$(t + 2)x - 4向左平移2个单位长度，
∴抛物线y2 = - $\frac{2}{t}$x² + $\frac{2}{t}$(t - 2)x或y2 = - $\frac{2}{t}$(x - $\frac{t - 2}{2}$)² + $\frac{(t - 2)²}{2t}$
∴顶点P($\frac{t - 2}{2}$,$\frac{(t - 2)²}{2t}$)。
将顶点P($\frac{t - 2}{2}$,$\frac{(t - 2)²}{2t}$)的坐标代入yAC = - $\frac{2}{t}$x + 2，
∴t² - 6t = 0，解得t1 = 0,t2 = 6。
由t ＞ 2，得t = 6。
　　　　　　　　
③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，
过点D作DN⊥x轴，垂足为N，
∵∠DOE = 90°,OD = OE，
∴△ODN≌△EOM(AAS)。
设EM = 2OM = 2m，
∵EM⊥x轴，
∴OA//EM。
∴OC:CM = OA:EM(提示：平行线所分线段成比例)。
∴$\frac{t}{t + m}$ = $\frac{2}{2m}$。
∴m = $\frac{t}{t - 1}$。
∴D($\frac{2t}{t - 1}$,$\frac{t}{t - 1}$)。
∵抛物线y2再向下平移$\frac{2}{(t - 1)²}$个单位长度，得到抛物线y3，
∴抛物线y3 = - $\frac{2}{t}$x² + $\frac{2}{t}$(t - 2)x - $\frac{2}{(t - 1)²}$。
将D($\frac{2t}{t - 1}$,$\frac{t}{t - 1}$)的坐标代入抛物线y3 = - $\frac{2}{t}$x² + $\frac{2}{t}$(t - 2)x - $\frac{2}{(t - 1)²}$。
∴3t² - 19t + 6 = 0，
解得t1 = $\frac{1}{3}$,t2 = 6。
由t ＞ 2，得t = 6，
∴D($\frac{12}{5}$,$\frac{6}{5}$)。