《2026年天利38套中考试题分类九年级数学》

1. (2025·黑龙江龙东地区)如图,抛物线$ y = x^2 + bx + c $交$ x $轴于点$ A $、点$ B $,交$ y $轴于点$ C $,且点$ A $在点$ B $的左侧,顶点坐标为$ (3, -4) $.
(1)求$ b $与$ c $的值.
(2)在$ x $轴上方的抛物线上是否存在点$ P $,使$ \triangle PBC $的面积与$ \triangle ABC $的面积相等.若存在,请直接写出点$ P $的横坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
1.二次函数的图象与性质+待定系数法求函数解析式+等腰三角形的性质+三角形的面积
解:
(1)由已知得,y=(x−3)²−4,
整理,得y=x²−6x+5,
∴b=−6,c=5.
(2)点P的横坐标分别是$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$,$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$.
[解题过程]由
(1)得抛物线的解析式为y=x²−6x+5，
令y=0,则x²−6x+5=0,
解得$x_1$=1,$x_2$=5.
令x=0,则y=5，
∴OB=OC=5,AB=5−1=4.
∵∠COB=90°,
∴∠OBC=∠OCB=45°.
如图,过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD=BA=4,连接AD与BC交于点E(巧作辅助线:作垂线,构造等腰直角三角形)，
则D(5,4),

∴∠DBC=90°−∠OBC=45°=∠OBC.
∴BC⊥AD,ED=EA.
过点D作BC的平行线与抛物线的交点即为点P(巧作辅助线:作平行线，构造同底等高的三角形).
∵$S_{\triangle BCA}$=$\frac{1}{2}$BC·AE,$S_{\triangle BCP}$=$\frac{1}{2}$BC·DE,
∴$S_{\triangle BCA}$=$S_{\triangle BCP}$.
设直线BC:y=mx+n，
则$\begin{cases}5m+n=0,\\n=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5.\end{cases}$
∴直线BC:y=−x+5.
又BC//PD,
∴设直线PD:y=−x+q.
代入D(5,4)的坐标得−5+q=4,解得q=9,
∴直线PD:y=−x+9.
联立$\begin{cases}y=-x+9,\\y=x^{2}-6x+5,\end{cases}$
整理得x²−5x−4=0,
解得x=$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或x=$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$,
∴点P的横坐标分别是$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$,$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$.
方法技巧：构造面积相等的三角形的方法
(1)利用同底等高的三角形面积相等，根据平行线间的距离处处相等构造平行线，三角形的另一顶点在此平行线上；
(2)等底等高的三角形面积相等，根据图形确定相等的底边与高.在遇到三角形面积相等的情况时，要通过以上两种途径构造三角形.