《2025年实验班中考数学压轴题》

1. (杭州富阳区三模)在平面直角坐标系中,抛物线$y = -x^{2}+2tx + 3$经过点$(3,0)$.
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标;
(2)若把此二次函数的图象先向右平移$2$个单位,再向下平移$n(n \gt 0)$个单位,图象恰好经过点$(5,-2)$,求$n$的值.

答案：
(1)把(3,0)代入y=−x²+2tx+3,得t=1,
∴y=−x²+2x+3.
∵y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).
(2)把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n(n＞0)个单位,得到y=−(x−1−2)²+4−n.
∵经过点(5,−2),
∴−2=−(5−1−2)²+4−n,解得n=2.

2. 如图,抛物线$F:y = x^{2}-2x + 3$的顶点为$P$,与$y$轴交于点$A$.
(1)求点$A$和顶点$P$的坐标;
(2)过点$P$作$PB\perp x$轴于点$B$,平移抛物线$F$使其经过点$A,B$,得到抛物线$F'$.
①求抛物线$F'$的解析式;
②将抛物线$F$平移到抛物线$F'$,平移的最短路程是\sqrt{10}.
(第2题)

答案：
(1)由题意，令x=0,得y=3,
∴A(0,3).
　又y=x²−2x+3=(x−1)²+2,
∴顶点P的坐标为(1,2).
(2)①
∵PB⊥x轴，
∴点B的坐标是(1,0).
　设抛物线F'的解析式为y=x²+bx+c,把A(0,3),B(1,0)代入，得$\begin{cases}c = 3\\1 + b + c = 0\end{cases}$,
∴$\begin{cases}b = -4\\c = 3\end{cases}$,
∴抛物线F'的解析式为y=x²−4x+3.
　②$\sqrt{10}$　[解析]由①,得抛物线F'的解析式为y=x²−4x+3=(x−2)²−1,
∴此时顶点为(2,−1).
　又抛物线F的解析式为y=(x−1)²+2,顶点为(1,2),
∴将抛物线F平移到抛物线F'时，平移的最短路程是$\sqrt{(2−1)²+(−1−2)²}$=$\sqrt{10}$.

3. (济南槐荫区一模)如图(1),抛物线$C_{1}$经过点$A(-3,0)$,$B$,$C(0,3)$,对称轴为直线$x = -1$,直线$BE$与$x$轴所夹锐角为$45^{\circ}$,与$y$轴交于点$E$.
(1)求抛物线$C_{1}$和直线$BE$的解析式;
(2)将抛物线$C_{1}$沿第二、四象限的角平分线平移,使得平移后的抛物线与直线$BE$恰好只有一个交点,求抛物线平移的距离;
(3)如图(2),将抛物线$C_{1}$沿直线$BE$翻折,得到新曲线$C_{2}$,$C_{2}$与$y$轴交于$M,N$两点,请直接写出点$M$的坐标.

答案：

(1)
∵抛物线C₁的对称轴为直线x=−1,经过点A(−3,0)，
∴抛物线C₁经过点B(1,0)，设抛物线C₁的解析式为y=ax²+bx+c,将A(−3,0),B(1,0),C(0,3)代入,得$\begin{cases}9a - 3b + c = 0\\a + b + c = 0\\c = 3\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = -1\\b = -2\\c = 3\end{cases}$,
∴抛物线C₁的解析式为y=−x²−2x+3.
∵直线BE与x轴所夹锐角为45°,
∴OE=OB=1,
∴E(0,−1),设直线BE的解析式为y=kx+b,把B(1,0),E(0,−1)代入,得$\begin{cases}0 = k + b\\-1 = b\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = 1\\b = -1\end{cases}$,
∴直线BE的解析式为y=x−1,
∴抛物线C₁和直线BE的解析式分别为y=−x²−2x+3和y=x−1.
(2)①若抛物线C₁向左上方平移，则抛物线与直线BE始终有两个交点，不合题意;
　②若抛物线C₁向右下方平移.
∵第二、四象限角平分线的解析式为y=−x,
∴抛物线向右平移m个单位的同时向下平移m个单位.
∵原抛物线C₁为y=−x²−2x+3=−(x+1)²+4,
∴其顶点为(−1,4),
∴平移后的顶点为(−1+m,4−m),
∴平移后抛物线的解析式为y=−(x+1−m)²+4−m,令−(x+1−m)²+4−m=x−1,若平移后抛物线与直线BE只有一个交点，则Δ=−8m+25=0,解得m=$\frac{25}{8}$,
∴抛物线平移的距离为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$.
(3)如图，设点M关于直线BE的对称点为H,连接MH,EH 则EM=EH，根据轴对称的性质
∴∠MEB=∠HEB=45°,
∴∠MEH=90°,
　
∴yH=yE=−1.
∵点H在抛物线C₁上，
∴令−x²−2x+3=−1,解得x=$\sqrt{5}$−1或x=−$\sqrt{5}$−1(舍去)，
∴EM=EH=$\sqrt{5}$−1,
∴yM=−1+$\sqrt{5}$−1=−2+$\sqrt{5}$,
∴点M的坐标为(0,−2+$\sqrt{5}$).