《2025年实验班中考数学压轴题》

3.（重庆梁平区期末）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 10$，对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$，对角线 $AC$ 所在的直线 $l$ 绕点 $O$ 顺时针方向旋转，旋转中，直线 $l$ 分别交 $AD,BC$ 于点 $E,F$，将四边形 $ABFE$ 沿直线 $l$ 折叠得到四边形 $A'B'FE$，其中线段 $B'F$ 交 $AD$ 于点 $G$。
(1)如图(1)，若 $AE = 2$，求 $EF$ 的长。
(2)如图(2)，连接 $A'O$ 交 $AD$ 于点 $H$，$\angle A'OD = 60^{\circ}$，
①求证：$\angle A'OD = \angle EGF$；
②求证：$DE - OE = AE$。
(3)当 $EG = 5$ 时，请直接写出 $BF$ 的长。

答案：
3.
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,OA=OC,∠DAB=∠ABC=90°,
∴∠OAE=∠OCF.
　在△AOE和△COF中，$\begin{cases} \angle OAE=\angle OCF,\\ OA=OC,\\ \angle AOE=\angle COF,\end{cases}$
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴CF=AE=2.
∵AE=2,AD=BC=10,
∴DE=AD−AE=10−2=8,
BF=BC−CF=10−2=8.
　如图
(1),过点E作EM⊥BC于点M,
　则∠EMB=∠EMF=90°,
∴∠EMB=∠ABM=∠BAE=90°,
∴四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=4,MF=BF−BM=BF−AE=8−2=6,
∴在Rt△EMF中,EF=$\sqrt{EM^{2}+MF^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+6^{2}}$=2$\sqrt{13}$.
　　　　　　　
(2)①
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC,OD=$\frac{1}{2}$BD.
∵AC=BD,
∴AO=OD,
∴∠OAE=∠ODH.
∵四边形ABFE折叠得到四边形A'B'FE，
∴∠OAE=∠OA'E,
∴∠OA'E=∠ODH.
∵∠A'HE=∠OHD,
∴∠A'EH=∠A'OD.
∵A'E//B'F,
∴∠A'EH=∠EGF,
∴∠A'OD=∠EGF.
　②
∵∠A'OD=60°,
∴∠A'EH=∠A'OD=60°,
∴∠A'EA=180°−∠A'EH=120°.
　如图
(2),在FE的延长线上取一点M，
∴∠A'EM=∠AEM=60°,
∴∠OED=180°−∠A'EM−∠A'EH=60°.
　在ED上截取EN=EO,则△EON为等边三角形，
∴∠EON=60°=∠A'OD,
∴∠A'OE+∠A'ON=
　∠A'ON+∠DON,
∴∠A'OE=∠DON.
∵∠EA'O=∠NDO,OA=OA'=OD,
∴△A'OE≌△DON(ASA),
∴A'E=DN=AE.
∵EN+DN=DE,
∴OE+AE=DE,
∴DE−OE=AE.
(3)BF的长为6或9.

4. 在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC,BD$ 交于点 $O$，且 $AC = 12$，$BD = 16$。
(1)如图(1)，点 $F$ 在 $OD$ 上，$EF \perp AD$，垂足为 $E$，已知 $OF = EF$，求 $DE$ 的长；
(2)如图(2)，将(1)中的 $Rt\triangle DEF$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，连接 $OE$，$AF$，取 $AF$ 的中点 $P$，连接 $OP$，求证：$\angle POE = \frac{1}{2}\angle ABC$；
(3)如图(3)，在 $Rt\triangle DEF$ 绕点 $D$ 旋转的过程中，当线段 $AF$ 中点 $P$ 落在 $DE$ 的垂直平分线上时，求此时 $AP$ 的长。

答案：
4.
(1)如图
(1),连接AF.
∵四边形ABCD是菱形,AC=12,BD=16，
∴AC⊥BD,AO=$\frac{1}{2}$AC=6,OD=$\frac{1}{2}$BD=8,
∴AD=$\sqrt{AO^{2}+OD^{2}}$=10.
∵EF⊥AD,
∴在Rt△AOF和Rt△AEF中，$\begin{cases} AF=AF,\\ OF=EF,\end{cases}$
∴Rt△AOF≌Rt△AEF(HL),
∴AO=AE=6,
∴DE=AD−AE=4.
　　　 　　　　
(2)如图
(2),连接CF，设CF与OD相交于点G.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ADO=∠CDO,AO=OC,AB//CD,AD=CD,
∴∠ABD=∠CDO.
　由
(1)可知AD=CD=10,DE=4,OD=8.
　由旋转可知∠EDF=∠ODA=∠ODC.
∵∠AOD=∠FED=90°,
∴△AOD∽△FED,
∴$\frac{OD}{DE}$=$\frac{AD}{FD}$=$\frac{8}{4}$=2，$\frac{OD}{DE}$=$\frac{CD}{FD}$=2,
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{DE}{FD}$
∵∠EDO=∠EDF+∠FDO,∠FDC=∠ODC+∠FDO,
∴∠EDO=∠FDC,
∴△EDO∽△FDC,
∴∠EOD=∠FCD.
∵P是AF的中点,OA=OC,
∴OP//CF,
∴∠POD=∠OGC.
∵∠POD=∠POE+∠EOD,∠OGC=∠ODC+∠FCD,
∴∠POE=∠ODC=∠ABD,
∴∠POE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
(3)由
(2)可知△AOD∽△FED,
∴$\frac{OD}{DE}$=$\frac{AD}{FD}$=$\frac{AO}{EF}$=2,
∴DF=5,EF=3.
　由题意可分两种情况讨论：
　题目中未限制旋转角度，故要分类讨论
　①当Rt△DEF在BD的上方时，满足点P落在DE的垂直平分线上，如图
(3)，设DE的垂直平分线分别交DF，
DE于点M,N,过点P作PH⊥EF于点H,
∴PN⊥DE,DN=NE=$\frac{1}{2}$DE=2,
∴PN//EF，四边形PNEH是矩形，
∴$\frac{FM}{DM}$=$\frac{EN}{ND}$=1,PH=EN=2,
∴FM=DM,
∴MN=$\frac{1}{2}$EF=1.5.
∵P是AF的中点，即AP=PF,
∴PM=$\frac{1}{2}$AD=5,
∴PN=PM+NM=6.5=EH,
∴FH=EH−EF=3.5,
∴AP=PF=$\sqrt{PH^{2}+FH^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$.