《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (贵州中考)如图,一次函数$ y=x(x\geq0) $与反比例函数$ y=\frac{9}{x}(x＞0) $的图象交于点$ C $,过反比例函数图象上点$ A $作$ x $轴垂线,垂足为$ D $,交$ y=x $的图象于点$ B $,点$ A $的横坐标为$ 1 $.有以下结论:

①线段$ AB $的长为$ 8 $;
②点$ C $的坐标为$ (3,3) $;
③当$ x＞3 $时,一次函数值小于反比例函数的值.
其中结论正确的个数是(C).
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
思路分步拆解
(第一步:求$ AB $的长)通过点$ A $的横坐标求出点$ A $($ \boldsymbol{1}$9,$ \boldsymbol{\frac{9}{1}} $),点$B $($ \boldsymbol{1}$1,1$\boldsymbol{1} $),从而求出$ AB $的长,判断①;
(第二步:求点$ C $的坐标)联立两个函数解析式,求出点$ C $($ \boldsymbol{3} $,3$\boldsymbol{3}$3),判断②;
(第三步:根据函数图象判断③)观察图象即可确定特定取值范围内函数值的大小关系,判断③.

答案： 典例思路分步拆解:1　9　1　1　3　3
C　[解析]
∵点A的横坐标为1,
∴$y = \frac {9} {1}=9$,
∴A(1,9).
∵过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为D,交y=x的图象于点B,
∴B(1,1),
∴AB=8.故①正确;
联立$\begin{cases} y = x(x\geq0), \cr y = \frac {9} {x}(x＞0), \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 3, \cr y = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} x = - 3, \cr y = - 3 \end{cases}$(舍去),
∴点C的坐标为(3,3),故②正确;
由图象可知，当x＞3时，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误.故选C;