《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图(1),抛物线$ y = ax^2 + bx - 3(a \neq 0) $与$ x $轴交于$ A(-1,0) $,$ B(3,0) $,与$ y $轴交于点$ C $.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)如图(2),点$ P $,$ Q $为直线$ BC $下方抛物线上的两点,点$ Q $的横坐标比点$ P $的横坐标大1,过点$ P $作$ PM // y $轴,交$ BC $于点$ M $,过点$ Q $作$ QN // y $轴交$ BC $于点$ N $,求$ PM + QN $的最大值及此时点$ Q $的坐标;
(3)如图(3),将抛物线$ y = ax^2 + bx - 3(a \neq 0) $先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到新的抛物线$ y' $,在$ y' $的对称轴上有一点$ D $,坐标平面内有一点$ E $,使得以点$ B $,$ C $,$ D $,$ E $为顶点的四边形是矩形,且$ BC $为矩形一边,求出此时所有满足条件的点$ E $的坐标.

思路分步拆解
(1)直接运用待定系数法列二元一次方程组,解方程可求得抛物线的函数解析式.
(2)(第一步:求直线$ BC $的解析式)用待定系数法求出直线$ BC $的解析式为$ y = $x-3$ $;
(第二步:设参数表示出线段$ PM $和$ QN $的长)设点$ P $的横坐标为$ m $,则点$ Q $的坐标为$ (m + 1, $m^{2}-4$) $,点$ M $的坐标为$ (m, $m-3$) $,点$ N $的坐标为$ (m + 1, $m-2$) $,从而得到线段$ PM $和$ QN $的长;
(第三步:利用二次函数的性质求$ PM + QN $的最大值)用$ m $表示出$ PM + QN $,再用配方法将其化成顶点式,从而求得最值.
(3)分类讨论确定顶点的位置,分两种情况:当$ BC $为矩形一边,且点$ D $在$ x $轴下方时;当$ BC $为矩形一边,且点$ D $在$ x $轴上方时,分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的性质定理解答即可.
易错警示
以$ BC $为一边的矩形,需分“$ BC $与$ BD $为邻边”“$ BC $与$ CD $为邻边”两种情况,易遗漏某一种情况导致漏解.

答案：

(1)把$A(-1,0)$和$B(3,0)$代入$y = ax^{2} + bx - 3(a \neq 0)$，得$\begin{cases} a - b - 3 = 0 \\ 9a + 3b - 3 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \end{cases}$，
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y = x^{2} - 2x - 3$。
(2)$\because$抛物线$y = ax^{2} + bx - 3(a \neq 0)$与$y$轴交于点$C$，令$x = 0$，则$y = - 3$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0, - 3)$。
设直线$BC$的解析式为$y = kx + b'$，把点$B$，$C$的坐标代入，得$\begin{cases} 3k + b' = 0 \\ b' = - 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 1 \\ b' = - 3 \end{cases}$，
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y = x - 3$。$\because$点$P$，$Q$为直线$BC$下方抛物线上的两点，点$Q$的横坐标比点$P$的横坐标大$1$，
$\therefore$设$P(m,m^{2} - 2m - 3)$，则$Q(m + 1,m^{2} - 4)$，
$\therefore M(m,m - 3)$，$N(m + 1,m - 2)$，
$\therefore PM = - m^{2} + 3m$，$QN = - m^{2} + m + 2$，
$\therefore PM + QN = - 2m^{2} + 4m + 2 = - 2(m - 1)^{2} + 4$，
当$m = 1$时，$(PM + QN)_{\max} = 4$，$\therefore Q(2, - 3)$。
(3)由题意可得$y' = (x - 1)^{2} - 2(x - 1) - 3 - 1 = x^{2} - 4x - 1 = (x - 2)^{2} - 5$，
$\therefore y'$的对称轴为直线$x = 2$。$\because$抛物线$y = ax^{2} + bx - 3(a \neq 0)$与$y$轴交于点$C$，$\therefore C(0, - 3)$。
$\because B(3,0)$，$\therefore OC = OB = 3$，$\angle BCO = \angle CBO = 45^{\circ}$。
①当$BC$为矩形一边，且点$D$在$x$轴下方时，过点$D$作$DF \perp y$轴，如图
(1)所示。
$\because$点$D$在$y'$的对称轴上，$\therefore FD = 2$，
$\therefore CF = FD = 2$，$OF = 3 + 2 = 5$，即点$D(2, - 5)$，
$\therefore$点$C$先向右平移$2$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度可得到点$D$，则点$B$先向右平移$2$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度可得到点$E(5, - 2)$；

②当$BC$为矩形一边，且点$D$在$x$轴上方时，如图
(2)所示，设$y'$的对称轴与$x$轴交于点$G$。
$\because y'$的对称轴为直线$x = 2$，$\therefore GO = 2$，$\therefore BG = 3 - 2 = 1$。
$\because \angle CBO = 45^{\circ}$，即$\angle DBO = 45^{\circ}$，$\therefore BG = GD = 1$，即点$D(2,1)$，
$\therefore$点$B$先向左平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度可得到点$D$，则点$C$先向左平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度可得到点$E(-1, - 2)$。
综上所述，点$E$的坐标为$(5, - 2)$或$(-1, - 2)$。