《2025年实验班中考数学压轴题》

2. 中考新考法 类比猜想 (黑龙江中考)已知：如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，设$\angle BAC = \alpha$，$D$是直线$BC$上一动点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$\alpha$至$AE$，连接$DE$，$BE$，过点$E$作$EF \perp BC$，交直线$BC$于点$F$。探究如下：
(1)若$\alpha = 60°$，如图(1)，当点$D$在$CB$延长线上时，易证：$BF = DF + BC$；如图(2)，当点$D$在$BC$延长线上时，试探究线段$BF$，$DF$，$BC$之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由。
(2)若$\alpha = 120°$，点$D$在$CB$延长线上，如图(3)，猜想线段$BF$，$DF$，$BC$之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明。

答案： 2.
(1)BF=DF - BC.理由如下：
∵AB=AC,∠BAC=α=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠BCA=60°,
∴∠ACD=180° - ∠BCA=120°.
∵∠BAC=∠EAD=α=60°,
∴∠BAC - ∠EAC=∠EAD - ∠EAC,即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中,{AB = AC,∠BAE = ∠CAD,AE = AD},
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=120°,
∴∠EBF=∠ABE - ∠ABC=120° - 60°=60°.
∵EF⊥BC,
∴在Rt△BEF中,BE=BF/cos∠EBF = BF/cos60°=2BF.
∵CD=BD - BC=BF+DF - BC,CD=BE=2BF,
∴2BF=BF+DF - BC,
∴BF=DF - BC.
(2)3BF=DF+BC.

3. 消元法 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$\angle BAC = \alpha(0° ＜ \alpha ＜ 45°)$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上（不与$A$，$B$，$C$重合），将线段$DE$绕点$E$顺时针旋转$180° - 2\alpha$得到线段$EF$。
(1)如图(1)，当点$F$与点$C$重合时，求证：$AD = BD$；
(2)如图(2)，当点$F$在边$BC$上时，作$FG // AC$，交$AB$于点$G$，判断$BG$与$AD$有何数量关系，并说明理由；
(3)如图(3)，若$E$为$AC$的中点，$\tan A = \frac{2}{3}$，$BC = 4$，连接$BF$，$CF$，当$\triangle BFC$为直角三角形时，求$\triangle BFC$的面积。

答案：
3.
(1)
∵将线段DE绕点E顺时针旋转180° - 2α得到线段EF,
∴DE=CE,∠DEF=180° - 2α,
∴∠EDF=∠DFE=α.
∵∠BAC=α,
∴∠BAC=∠DFE,
∴AD=CD,∠BCD=∠B=90° - α,
∴CD=BD,
∴AD=BD.
(2)BG=2AD.理由如下：
如图
(1),以E为圆心,AE长为半径画弧,交AB于H,取BG的中点Q,连接EH,FQ,FH,
∴EH=AE,
∴∠AHE=∠BAC=α,
∴∠AEH=180° - 2α,
∴∠AEH=∠DEF,
∴∠AEH - ∠DEH=∠DEF - ∠DEH,
∴∠AED=∠FEH.
∵DE=EF,
∴△ADE≌△HFE(SAS),
∴FH=AD,∠EHF=∠BAC=α,
∴∠AHF=∠AHE+∠EHF=2α.
∵FG//AC,∠C=90°,
∴∠BFG=∠C=90°,∠BGF=∠BAC=α,
∴FQ=QG=1/2BG,
∴∠QFG=∠BGF=α,
∴∠BQF=∠BGF+∠QFG=2α,
∴∠AHF=∠BQF,
∴FH=FQ=AD,
∴BG=2FQ=2AD.

(3)如图
(2),作AB的垂直平分线,交AC于点S,连接BS,则AS=BS,
∴∠ABS=∠BAC,
∴∠BSC=∠A+∠ABS=2∠A.
∵tanA=2/3,BC=4,∠ACB=90°,
∴AC=6,设SC=x,则BS=AS=6 - x,
∴x²+4²=(6 - x)²,解得x=5/3,
∴tan∠BSC=BC/SC = 12/5,
如图
(3),当∠BCF=90°,即点F在AC上时,作DG⊥AC于点G,
∴∠AED=2α=2∠A,
∴tan∠AED=DG/EG = 12/5,
设DG=12k,EG=5k,则EF=DE=13k.
∵tanA=DG/AG = 2/3,
∴AG=3/2DG=18k.
∵E是AC的中点,
∴AE=CE=3,由AG+EG=3,
得18k+5k=3,
∴k=3/23,
∴EF=13k=39/23,
∴CF=CE - EF=3 - 39/23=30/23,
∴S△BCF=1/2BC·CF=1/2×4×30/23=60/23;

如图
(4),当∠BFC=90°时,作FV⊥AC于点V,作∠EFH=∠AED交AC于点H,作∠EDG=∠FEC,交AC于点G.
∵DE=EF,
∴△DEG≌△EFH(ASA),
∴DG=EH,EG=FH,∠DGE=∠FHE=∠DEF=180° - 2∠A,
∴∠DGW=∠FHV=2∠A.
设FV=12m,HV=5m,CV=n,则EG=FH=13m,
∴DG=EH=CE - CV - HV=3 - n - 5m,
∴DW=12/13DG=12/13(3 - n - 5m),WG=5/13(3 - n - 5m),
∴AW=3/2DW=18/13(3 - n - 5m),由AW+WG+EG=AE,得23/13(3 - n - 5m)+13m=3①,
取BC的中点O,作FT⊥BC于点T,则四边形CVFT是矩形,OF=OC=OB=2,
∴FT=CV=n,CT=FV=12m,
∴OT=2 - 12m,由勾股定理,得(2 - 12m)²+n²=2²②,
由①②,得n₁=240/169,n₂=24/13,当n=240/169时,S△BCF=1/2×4×240/169=480/169;当n=24/13时,S△BCF=1/2×4×24/13=48/13.
综上所述,S△BFC=60/23或480/169或48/13.