《2025年实验班中考数学压轴题》

[典例] (湖北中考)如图，折叠正方形$ ABCD $的一边$ BC $，使点$ C $落在$ BD $上的点$ F $处，折痕$ BE $交$ AC $于点$ G $。若$ DE = 2\sqrt{2} $，则$ CG $的长是(B)。

A.$ \sqrt{2} $
B.$ 2 $
C.$ \sqrt{2} + 1 $
D.$ 2\sqrt{2} - 1 $
思路分步拆解
(第一步：作辅助线，找对应边、对应角)过点$ G $作$ GH \perp BC $于点$ H $，由对折可得$ BC = $BF$ $，$ CE = $EF$ $，结合正方形的性质可证$ \angle BFE = \angle $BCE$ = \angle DFE = $90$° $，$ \angle FBE = \angle CBE $，证明$ \angle DEF = \angle FDE = 45° $，而$ DE = 2\sqrt{2} $，可得$ DF = $2$ $，求解$ CD = BC = 2\sqrt{2} + 2 = BF $，则$ OB = $√2+2$ $；
(第二步：找全等关系，得出关键边长)根据条件可证得$ OG = HG $，$ Rt\triangle OBG \cong Rt\triangle HBG $，可得$ BH = $√2+2$ $，即可求得$ CG $的长。

答案： 典例思路分步拆解:BF　EF　BCE　90　2　　$\sqrt{2}$+2
$\sqrt{2}$+2
B [解析]如图,过点G作GH⊥BC于点H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=AD,∠BCD=∠ADC=90°,
∠DBC=∠BDC=45°,AC=BD,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD.由对折,可得
BC=BF,CE=EF,∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE,∠FBE=∠CBE,
∴∠DEF=∠FDE=45°.又DE=2$\sqrt{2}$,
∴DF=EF=DE·sin45°=2,
∴CD=BC=2$\sqrt{2}$+2=BF,
∴AC=BD=BF+DF=2$\sqrt{2}$+4,
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$+2.
∵∠FBE=∠CBE,GH⊥BC,AC⊥BD,
∴OG=HG.
∵BG=BG,
∴Rt△OBG≌Rt△HBG(HL),
∴BH=BO=$\sqrt{2}$+2,
∴CH=BC−BH=$\sqrt{2}$,
∴CG=$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$=2.故选B