《2025年实验班中考数学压轴题》

1. (楚雄二模)已知二次函数$y = ax^2 - 4ax + 2$ ($a$为常数,且$a\neq 0$).
(1)若函数图象过点$(-1,0)$,求$a$的值.
(2)当$2\leqslant x\leqslant 6$时,函数的最大值为$M$,最小值为$N$,若$M - N = 11$,求$a$的值.

答案： $(1)\because$二次函数$y=ax^{2}-4ax+2$的图象过点(-1,0)，
$\therefore a+4a+2=0,\therefore a=-\frac{2}{5}.$
$(2)\because y=ax^{2}-4ax+2=a(x-2)^{2}+2-4a，$
$\therefore$抛物线的顶点为(2,2-4a)，当x=2时，y=2-4a，
当x=6时，y=36a-24a+2=12a+2.
①当$a＞0,2\leq x\leq6$时，M=12a+2，N=2-4a.
$\because M-N=11,\therefore12a+2-(2-4a)=11,\therefore a=\frac{11}{16}$
②当a＜0,2\leq x\leq6时，N=12a+2，M=2-4a.
$\because M-N=11,\therefore2-4a-(12a+2)=11,\therefore a=-\frac{11}{16}$
综上所述，a的值为$\frac{11}{16}$或$-\frac{11}{16}.$

2. (河南模拟)已知某抛物线的解析式为$y = x^2 - 4ax + 2a + 1$,$a$为实数.
(1)若该抛物线经过点$(5,8)$,求此抛物线的顶点坐标.
(2)如果当$2a - 3\leqslant x\leqslant 2a + 1$时,$y$的最大值为$4$,求$a$的值.

答案： $(1)\because$抛物线$y=x^{2}-4ax+2a+1$经过点(5,8)，
$\therefore25-20a+2a+1=8,\therefore a=1,\therefore y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1，$$\therefore$此抛物线的顶点坐标为(2,-1).
$(2)\because y=x^{2}-4ax+2a+1=(x-2a)^{2}-4a^{2}+2a+1，$
$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2a.\therefore$抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大.
若抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小.
$\because$当$2a-3\leq x\leq2a+1$时，y的最大值为4，
$\therefore$当x=2a-3时，y=4，
$\therefore(2a-3)^{2}-4a^{2}+2a+1=4,\therefore2a^{2}-a-3=0，$
$\therefore a=\frac{3}{2}$或a=-1.故a的值为$\frac{3}{2}$或-1.