《2025年实验班中考数学压轴题》

3. (深圳宝安实验学校三模)在平面直角坐标系$ xOy $中，点$ (2,m) $和点$ (6,n) $在抛物线$ y = ax^2 + bx $($ a ＜ 0 $)上。
(1) 若$ m = 4 $，$ n = -12 $，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2) 已知点$ A(1,y_1) $，$ B(4,y_2) $在该抛物线上，且$ mn = 0 $。
① 比较$ y_1,y_2,0 $的大小，并说明理由；
② 将线段$ AB $沿水平方向平移得到线段$ A'B' $，若线段$ A'B' $与抛物线有交点，直接写出点$ A' $的横坐标$ x $的取值范围。

答案： 3.
(1)
∵$m = 4$，$n = -12$，
∴点$(2,4)$和点$(6,-12)$在抛物线$y = ax^{2}+bx$（$a ＜ 0$）上，
∴$\begin{cases}4a + 2b = 4\\36a + 6b = -12\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = -1\\b = 4\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为$y = -x^{2}+4x$.
∵$y = -x^{2}+4x = -(x - 2)^{2}+4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,4)$.
(2)①当$m = 0$时，$y_{1} ＞ 0 ＞ y_{2}$；当$n = 0$时，$0 ＜ y_{1} ＜ y_{2}$.理由如下:
∵$mn = 0$，
∴$m = 0$或$n = 0$.
当$m = 0$时，抛物线$y = ax^{2}+bx$（$a ＜ 0$）的开口方向向下，经过$(0,0)$，$(2,0)$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = \frac{0 + 2}{2} = 1$，
∴$A(1,y_{1})$为抛物线的顶点，
∴$y_{1}$为函数的最大值且大于$0$.
∵点$(2,0)$在$x$轴上，
∴点$B(4,y_{2})$在$x$轴的下方，
∴$y_{2} ＜ 0$，
∴$y_{1}$，$y_{2}$，$0$的大小关系为$y_{1} ＞ 0 ＞ y_{2}$；
当$n = 0$时，
∵抛物线$y = ax^{2}+bx$（$a ＜ 0$）的开口方向向下，经过$(0,0)$，$(6,0)$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = \frac{0 + 6}{2} = 3$，
∴当$x ＜ 3$时，$y$随$x$的增大而增大，由抛物线的对称性可知，$(2,y_{2})$在抛物线上.
∵$0 ＜ 1 ＜ 2$，
∴$0 ＜ y_{1} ＜ y_{2}$.
综上，当$m = 0$时，$y_{1} ＞ 0 ＞ y_{2}$；当$n = 0$时，$0 ＜ y_{1} ＜ y_{2}$.
②由①知，当$m = 0$时，抛物线$y = ax^{2}+bx$的对称轴为直线$x = 1$，此时向右平移到相切时是最大值，把$x = 2$，$y = 0$代入，可得$b = -2a$，则$A(1,-a)$，$B(4,8a)$，抛物线解析式可简化为$y = ax^{2}-2ax$，经过$A$，$B$的直线解析式为$y = 3ax - 4a$，设平移后解析式为$y = 3a(x - k) - 4a$.
当直线与抛物线相切时，得$ax^{2}-2ax = 3a(x - k) - 4a$，
整理得$x^{2}-5x + 3k + 4 = 0$，
令$\Delta = 0$，则$25 - 4(3k + 4) = 0$，
解得$k = \frac{3}{4}$，
∴点$A'$横坐标的最大值为$1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
点$B$关于直线$x = 1$对称的点为$(-2,8a)$，此时为线段$AB$向左平移的极限位置，得点$A$向左平移了$6$个单位，此时点$A'$横坐标为$-5$，
∴当$m = 0$时，$-5\leqslant x\leqslant\frac{7}{4}$.
由①知，当$n = 0$时，抛物线$y = ax^{2}+bx$的对称轴为直线$x = 3$，
∴点$A$，$B$关于对称轴对称的点的坐标分别为$A'(5,y_{1})$，$B'(2,y_{2})$.
∵将线段$AB$沿水平方向向左平移至点$B$与$B'$重合时，线段$A'B'$与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由$B$平移到$B'$平移了$2$个单位，
∴$A'$的横坐标$x$的最小值为$1 - 2 = -1$.
∵将线段$AB$沿水平方向向右平移至点$A$与$A'$重合时，线段$A'B'$与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由$A$平移到$A'$平移了$4$个单位，
∴$A'$的横坐标$x$的最大值为$1 + 4 = 5$，
∴$A'$的横坐标$x$的取值范围为$-1\leqslant x\leqslant5$.
综上，点$A'$的横坐标$x$的取值范围为当$n = 0$时，$-1\leqslant x\leqslant5$；当$m = 0$时，$-5\leqslant x\leqslant\frac{7}{4}$.

4. 如图，抛物线$ y = \frac{1}{4}x^2 + bx + c $经过点$ B(-2,0) $和点$ C(0, -2) $，与$ x $轴交于点$ A $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点$ M $是第四象限内抛物线上的动点，求四边形$ AOCM $的面积的最大值和此时点$ M $的坐标；
(3) 点$ P(0,n) $是$ y $轴上的一个动点，将线段$ OB $绕点$ P $顺时针旋转$ 90° $，得到线段$ O'B' $，若线段$ O'B' $与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出$ n $的取值范围。

答案：
4.
(1)
∵抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+bx + c$经过点$B(-2,0)$，点$C(0,-2)$，
∴$\begin{cases}1 - 2b + c = 0\\c = -2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b = -\frac{1}{2}\\c = -2\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为$y = \frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2$.
(2)如图
(1)，连接$OM$，过点$M$作$MN⊥x$轴于点$N$，
设$M(x,\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2)$，则$N(x,0)$，
当$y = 0$时，由$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2 = 0$，得$x_{1} = -2$，$x_{2} = 4$，
∴$A(4,0)$，
∴$OA = 4$，$OC = 2$.
∵点$M$在第四象限内抛物线上，
∴$MN = -\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 2$，
∴$S_{四边形AOCM} = S_{\triangle MOC}+S_{\triangle MOA} = \frac{1}{2}× OC· x+\frac{1}{2}× OA· MN = \frac{1}{2}×2× x+\frac{1}{2}×4×(-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 2)$，
即$S_{四边形AOCM} = -\frac{1}{2}x^{2}+2x + 4 = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+6$，
∴当$x = 2$时，四边形$AOCM$的面积最大，最大值为$6$，此时$M(2,-2)$.
　　　 　　　
(3)
∵将线段$OB$绕点$P(0,n)$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到线段$O'B'$，
∴当$n ＞ 0$时，如图
(2)，$O'(-n,n)$，$B'(-n,n + 2)$，
当点$O'(-n,n)$在抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2$上时，$n = \frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{2}n - 2$，解得$n_{1} = 4$，$n_{2} = -2$（不符合题意，舍去），
当点$B'(-n,n + 2)$在抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2$上时，$n + 2 = \frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{2}n - 2$，解得$n_{1} = 1 + \sqrt{17}$，$n_{2} = 1 - \sqrt{17}$（不符合题意，舍去），
∴当$4\leqslant n\leqslant1 + \sqrt{17}$时，线段$O'B'$与抛物线有一个公共点；
当$n ＜ 0$时，如图
(3)，
当点$B'(-n,n + 2)$在抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2$上时，$n + 2 = \frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{2}n - 2$，解得$n_{1} = 1 - \sqrt{17}$，$n_{2} = 1 + \sqrt{17}$（不符合题意，舍去）；
当点$O'(-n,n)$在抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x - 2$上时，$n = \frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{2}n - 2$，解得$n_{1} = -2$，$n_{2} = 4$（不符合题意，舍去），
∴当$1 - \sqrt{17}\leqslant n\leqslant -2$时，线段$O'B'$与抛物线有一个公共点.
综上所述，$n$的取值范围是$4\leqslant n\leqslant1 + \sqrt{17}$或$1 - \sqrt{17}\leqslant n\leqslant -2$.