《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (上海虹口区三模)如图,已知开口向上的抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴交于点$(-1,0)$,对称轴为直线$x=1$,则下列结论正确的有(D).
①$2a+b=0$;
②函数$y=ax^{2}+bx+c$的最小值为$-4a$;
③若关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=a-1$无实数根,则$0＜ a＜ \dfrac{1}{5}$;
④代数式$(a-b)(b-c)(c-a)＜ 0$.
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

思路分步拆解
(第一步:利用抛物线图象中对称轴位置判断①是否正确)由对称轴为直线$x=1$,得$2a+b$=$0$,可判断①;
(第二步:利用二次函数顶点式判断②是否正确)利用待定系数法求得函数解析式为$y=ax^{2}-2ax-3a$,故求得函数的最小值为-4a,可判断②;
(第三步:利用根的判别式判断③是否正确)将$ax^{2}+bx+c=a-1$变形为$ax^{2}+bx+c-a+1=0$,利用根的判别式可判断③;
(第四步:利用抛物线与$y$轴的交点和对称轴判断④是否正确)由抛物线与$y$轴的交点可得$c=$-3a,由抛物线对称轴可得$b=$-2a,将$c$和$b$代入$(a-b)(b-c)(c-a)$可判断④;
(第五步:总结结论)结合以上结论可判断正确的个数.

答案： D[解析]由图象可知，图象开口向上，$a＞0$，对称轴为直线$x = 1$，故$-\frac{b}{2a}=1$，即$b = - 2a$，则$2a + b = 0$，故①正确，符合题意；由图象可知，当$x = 1$时，函数取最小值，将$x = 1$代入$y = ax²+bx + c$中，得$y = a + b + c$，由图象可知，函数与$x$轴交点为$(- 1,0)$，对称轴为直线$x = 1$，故函数图象与$x$轴的另一交点为$(3,0)$，设函数的解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，故化简得$y = ax²-2ax - 3a$，将$x = 1$代入可得$y = a - 2a - 3a = - 4a$，故函数的最小值为$-4a$，故②正确，符合题意；$ax²+bx + c = a - 1$变形为$ax²+bx + c - a + 1 = 0$，要使方程无实数根，则$b²-4a(c - a + 1)＜0$，将$c = - 3a$，$b = - 2a$代入，得$20a²-4a＜0$，因为$a＞0$，则$20a - 4＜0$，则$a＜\frac{1}{5}$，综上所述$0＜a＜\frac{1}{5}$，故③正确，符合题意；因为$c = - 3a$，$b = - 2a$，所以$(a - b)(b - c)(c - a)=(a + 2a)( - 2a + 3a)( - 3a - a)=3a· a·( - 4a)= - 12a³$，因为$a＞0$，所以$-12a³＜0$，即$(a - b)(b - c)(c - a)＜0$，故④正确，符合题意。综上①②③④正确。故选D。