《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 (昆明模拟)在平面直角坐标系$ xOy $中，抛物线$ y = a(x + 1)^2 - 3a $的顶点是$ P $，与$ y $轴交于点$ K $，已知$ A,B $两点的坐标分别为$ (-3,2),(0,2) $。
(1) 当$ a = -1 $时，若$ M(m,y_1) $和$ N(m + n,y_2)(n \neq 0) $是抛物线上任意两点，且$ Q = n^2 - 4m^2 + 2n - 4m + 2024 $，当$ y_1 = y_2 $时，求$ Q $的值；
(2) 若二次函数$ y = a(x + 1)^2 - 3a $的图象与线段$ AB $只有一个公共点，求$ a $的取值范围。
思路分步拆解
(1)(第一步：判断对称)因为$ y_1 = y_2 $，所以点$ M,N $关于抛物线的对称轴对称；
(第二步：由对称性求得$ m,n $的关系式并代入求解)根据解析式求得对称轴为直线$ x = $-1$ $，可得$ n = $-2 - 2m$ $，再代入$ Q = n^2 - 4m^2 + 2n - 4m + 2024 $中即可求得$ Q $的值；
(2)(第一步：讨论当$ a ＞ 0 $时的情况)抛物线顶点为$ P($-1$,$-3a$) $，则顶点在$ x $轴下方。
画出草图，当$ a = $2$ $时抛物线过点$ A $，结合草图可知，当$ a $≥$ 2 $时，二次函数$ y = a(x + 1)^2 - 3a $的图象与线段$ AB $只有一个公共点；
(第二步：讨论当$ a ＜ 0 $时的情况)顶点在$ x $轴上方。
此时若顶点在线段$ AB $上时，可得$ a = $-$\frac{2}{3}$$ $；
画出草图，若顶点在线段$ AB $上方，即$ -3a $＞$ 2 $时，要使二次函数的图象与线段$ AB $只有一个公共点，结合图象可知点$ K $在点$ B $上$ $方，即$ -2a $＞$ 2 $。
(第三步：总结结论)综合前二步讨论的结果即可求$ a $的取值范围。

答案：
解:
(1)当a = -1时，y = -(x + 1)² + 3，故抛物线的对称轴为直线x = -1.
∵y₁ = y₂，
∴M(m,y₁)和N(m + n,y₂)关于对称轴直线x = -1对称，则$\frac{m + m + n}{2}$ = -1，
∴n = -2 - 2m，
∴Q = n² - 4m² + 2n - 4m + 2024 = (-2m - 2)² - 4m² + 2(-2m - 2) - 4m + 2024 = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 4m - 4 - 4m + 2024 = 2024.
(2)抛物线y = a(x + 1)² - 3a的顶点是P(-1,-3a)，与y轴交点为K(0,-2a).
①当a＞0时， -3a＜0， -2a＜0，
∴抛物线y = a(x + 1)² - 3a与y轴交点K在点B下方，顶点在线段AB下方，如图
(1)所示，
在y = a(x + 1)² - 3a中，令x = -3，得y = 4a - 3a = a.
∵A(-3,2)，
∴当a = 2时抛物线过点A.由图可知，当a≥2时，二次函数y = a(x + 1)² - 3a的图象与线段AB只有一个公共点;
　　　　　
②当a＜0时，若顶点在线段AB上时，如图
(2)所示，
此时 -3a = 2，解得a = -$\frac{2}{3}$;
若顶点在线段AB上方，即 -3a＞2时，如图
(3)所示.
∵二次函数y = a(x + 1)² - 3a的图象与线段AB只有一个公共点，且A(-3,2)，B(0,2)，点K在点B上方且点(-3,a)不在点A上方，即 -2a＞2且a≤2，解得a＜ -1.
综上所述，二次函数y = a(x + 1)² - 3a的图象与线段AB只有一个公共点，a的取值范围是a≥2或a = -$\frac{2}{3}$或a＜ -1.