《2025年实验班中考数学压轴题》

1. 如图,抛物线$ y = ax^2 + 2ax + c $ ($ a ＞ 0 $)与$ x $轴交于$ A(-3,0) $,$ B $两点($ A $在$ B $的左侧),与$ y $轴交于点$ C(0,-3) $,抛物线的顶点为$ M $.
(1)求抛物线的解析式,并写出点$ M $的坐标.
(2)若点$ P $是线段$ AC $上一个动点,连接$ OP $,问是否存在点$ P $,使得以点$ O,C,P $为顶点的三角形与$ \triangle ABC $相似? 若存在,直接写出$ P $点的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 1.
(1)将点$A(-3,0)$，$C(0,-3)$代入$y=ax^{2}+2ax+c$，
$\therefore\begin{cases}c=-3,\\9a - 6a + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\c = -3.\end{cases}$
$\therefore y = x^{2}+2x - 3$。
$\because y = x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，$\therefore M(-1,-4)$。
(2)存在点$P$，使得以点$O$，$C$，$P$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似。理由如下：
当$y = 0$时，$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x = 1$或$x = -3$，
$\therefore B(1,0)$，$\therefore AB = 4$。
设直线$AC$的解析式为$y = kx + b$，
$\therefore\begin{cases}b = -3,\\-3k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = -3,\end{cases}$
$\therefore$直线$AC$的解析式为$y = -x - 3$。
设$P(m,-m - 3)$，当$\triangle OCP\sim\triangle CAB$时，$\frac{OC}{AC}=\frac{CP}{AB}$，$\therefore\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{CP}{4}$，解得$CP = 2\sqrt{2}$，
$\therefore2\sqrt{2}=\sqrt{2}|m|$，解得$m = -2$，$\therefore P(-2,-1)$；
当$\triangle OCP\sim\triangle BAC$时，$\frac{OC}{AB}=\frac{OP}{BC}$，$\therefore\frac{3}{4}=\frac{OP}{\sqrt{10}}$，
解得$OP=\frac{3\sqrt{10}}{4}$，$\therefore\sqrt{m^{2}+(m + 3)^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$，
解得$m = -\frac{9}{4}$或$m = -\frac{3}{4}$(不符题意，舍去)，
$\therefore P(-\frac{9}{4},-\frac{3}{4})$。
综上所述，点$P$的坐标为$(-2,-1)$或$(-\frac{9}{4},-\frac{3}{4})$。

2. 中考新考法 双动点问题 如图,抛物线$ y = x^2 + 2x - c $与$ x $轴负半轴,$ y $轴负半轴分别交于点$ A,C $,$ OA = OC $,它的对称轴为直线$ l $.
(1)求抛物线的解析式;
(2)$ P $是该抛物线上的点,过点$ P $作$ l $的垂线,垂足为$ D $,$ E $是$ l $上的点.要使以点$ P,D,E $为顶点的三角形与$ \triangle AOC $全等,求满足条件的点$ P $,点$ E $的坐标.

答案：
2.
(1)$\because$抛物线$y = x^{2}+2x - c$与$y$轴负半轴交于点$C$，$\therefore C(0,-c)$。
$\because OA = OC$，且点$A$在$x$轴负半轴上，$\therefore A(-c,0)$。
$\because$抛物线$y = x^{2}+2x - c$经过点$A(-c,0)$，
$\therefore c^{2}-2c - c = 0$，解得$c_1 = 3$，$c_2 = 0$(不符合题意,舍去)，$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}+2x - 3$。
(2)$\because y = x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = -1$。
当$y = 0$时，则$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$，
$\therefore A(-3,0)$，$B(1,0)$。
由
(1)得$C(0,-3)$，$\therefore OA = OC = 3$。
$\because\angle PDE = \angle AOC = 90^{\circ}$，
当$PD = DE = 3$时，以$P$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\triangle AOC$全等。
设点$P$的坐标为$(m,n)$，当点$P$在直线$x = -1$左侧时，如图
(1)，则$-1 - m = 3$，解得$m = -4$，
$\therefore n = (-4)^{2}+2×(-4)-3 = 5$，$\therefore P(-4,5)$，$D(-1,5)$；
$\because DE = DE' = 3$，$\therefore E(-1,2)$或$E'(-1,8)$；
当点$P$在直线$x = -1$右侧时，如图
(2)，则$m - (-1) = 3$，解得$m = 2$，
$\therefore n = 2^{2}+2×2 - 3 = 5$，$\therefore P(2,5)$，$D(-1,5)$，同理可得$E(-1,2)$或$E'(-1,8)$。

综上所述，点$P$的坐标为$(-4,5)$或$(2,5)$，点$E$的坐标为$(-1,2)$或$(-1,8)$。