《2025年实验班中考数学压轴题》

典例 如图，在正方形$ABCD$中，$AB = 6$，$E$是$BC$的中点.以点$C$为圆心，$CE$的长为半径画圆，$P$是$\odot C$上一动点，$F$是边$AD$上一动点，连接$AP$，若$Q$是$AP$的中点，连接$BF$，$FQ$，则$BF + FQ$的最小值为3$\sqrt{10}$−$\frac{3}{2}$.

思路分步拆解
(第一步：把$BF + FQ$转化为“动点$Q$的轨迹半径$+$定点到对称点距离”)取点$B$关于直线$AD$的对称点$M$，连接$BD$，$AC$交于点$O$，连接$OQ$，$CP$，$MO$，过点$O$作$ON \perp AB$于点$N$，则$OQ = \frac{1}{2}CP = \frac{1}{2} × 3 = \frac{3}{2}$，所以点$Q$在以$O$为圆心，$\frac{3}{2}$为半径的$\odot O$上运动；
(第二步：算出点$O$到对称点$M$的直线距离$OM$，为后续“半径差”做准备)根据条件可以求出$ON = AN = BN = \frac{1}{2}AB = 3$，则$MN =$9，由勾股定理，得$OM = \sqrt{MN^2 + ON^2} =$3$\sqrt{10}$；
(第三步：当$M$，$F$，$Q$，$O$四点共线时取等号)由$BF + FQ + OQ = MF + FQ + OQ \geq OM$，所以当$M$，$F$，$Q$，$O$四点共线时，$BF + FQ + OQ = MF + FQ + OQ = OM =$3$\sqrt{10}$的值最小，所以$BF + FQ$的最小值为$BF + FQ = OM -$OQ$=$3$\sqrt{10}$−$\frac{3}{2}$.

答案：
典例思路分步拆解:$\frac{3}{2}$　9　3$\sqrt{10}$　共线　3$\sqrt{10}$　OQ 3$\sqrt{10}$−$\frac{3}{2}$3$\sqrt{10}$−$\frac{3}{2}$　[解析]如图，作点B关于直线AD的对称点M,连接BD,AC交于点O,连接OQ,CP,MO,过点O作ON⊥AB于点N.　　　　　
∵Q是AP的中点，O是AC中点，
∴OQ=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴点Q在以O为圆心，$\frac{3}{2}$为半径的⊙O上运动.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,OA=OB,
∴ON=AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵AM=AB=6,
∴MN=6+3=9,
∴OM=$\sqrt{MN^{2}+ON^{2}}$=$\sqrt{9^{2}+3^{2}}$=3$\sqrt{10}$.
∵BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ≥OM,
∴当M,F,Q,O四点共线时，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3$\sqrt{10}$的值最小,
∴BF+FQ的最小值为BF+FQ=OM−OQ=3$\sqrt{10}$−$\frac{3}{2}$.