《2025年实验班中考数学压轴题》

（广州天河外国语学校三模）如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$AB = 1$，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$AC$ 上的动点，且 $CF = 2BE$，则 $BF + 2CE$ 的最小值为（ ）。
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{5}$-1
思路分步拆解
(第一步：取中点$ D,G $把$ BF $化为$ 2DG $，把问题转化成求$ DG+CE $的最小值)由于$ BF+2CE = 2\left(\frac{1}{2}BF+CE\right) $，因此，将$ \frac{1}{2}BF $进行转化，取$ BC,CF $的中点$ D,G $，连接$ AD,DG $，则可得$ DG = $$\frac{1}{2}$$BF $，$ BF+2CE = 2$($\frac{1}{2}$BF+CE)$ = 2(DG+CE) $，因此转而求$ DG+CE $的最小值；
(第二步：构造$ \triangle AME\cong\triangle ADG $，使$ DG+CE $变成$ ME+CE $的折线段问题)过点$ A $作$ AM\perp AC $，且$ AM = AD $，连接$ ME,CM $，可证明$ \triangle AME\cong\triangle ADG $，则有$ $ME$ = DG $，进而转化为求$ ME+CE $的最小值；
(第三步：根据两点之间线段最短得最小值)当点$ E $在线段CM上时，取得最小值，在$ Rt\triangle AMC $中由勾股定理即可求得最小值，从而求得$ BF+2CE $的最小值。

答案：
典例思路分步拆解:$\frac{1}{2}$　($\frac{1}{2}$BF+CE)　ME　CM
C[解析]如图，取BC,CF的中点D,G,连接AD,DG，
　　　　　　
∴CD=$\frac{1}{2}$BC,CG=FG=$\frac{1}{2}$CF,DG=$\frac{1}{2}$BF,
∴BF+2CE=2($\frac{1}{2}$BF+CE)=2(DG+CE),
∴BF+2CE的最小值为DG+CE的最小值.在等边三角形ABC中，AB=1,
∴AB=BC=AC=1,∠BAC=60°,
∴CD=$\frac{1}{2}$,∠CAD=30°.
∵CF=2BE,
∴BE=CG,
∴AE=AG.过点A作AM⊥AC,且AM=AD,连接ME,CM,则∠MAE=90° - ∠BAC=30°=∠CAD,
∴△AME≌△ADG(SAS),
∴ME=DG,
∴DG+CE=ME+CE,
∴当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，且最小值为线段CM的长.
∵AM=AD=$\sqrt{AC^2 - CD^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在Rt△AMC中，由勾股定理，得CM=$\sqrt{AM^2 + AC^2}$=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$,
∴BF+2CE的最小值=2(DG+CE)=2(ME+CE)=2×$\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\sqrt{7}$.故选C.